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e quindi 



T 2 dei + Fi dc 2 , ¥ z dci — Fi dc 2 



da ■ — -==- , dr = 7= 



, |s) .. 2 Fi F 2 J/D'i 2h\V 2 J - I)' 3 



j * i /Rt — Rj .,. , i r. Rt =P R<r , , R T — R 



Ora per il parametro differenziale ^/i Ci delle linee caratteristiche c\ , cal- 

 colato dalla nota espressione 



(JSLV 2 F + G ( , 

 V \ Dv ì ~òu Dv 1 \ Du ! 

 J x (f — ■ 



|/ÌG — F 2 



si trova, adoperando la forma (18) dell'elemento lineare, 



na\ v ^2 V Rt Ra 



(19) 4iCi= — 



y =*= R T R<7 



ed analogamente per le caratteristiche C 2 : 



/ OA x , Fi y R T R a 



(20) j x c t — — 



|/=t= Rt Ra 



e queste ultime formole (19), (20) ci danno i fattori integranti in funzione 

 dei parametri differenziali delle linee caratteristiche, e una curiosa espres- 

 sione dell'elemento lineare, riferito a queste linee, cioè: 



ic\-i\ jo ,i Rt — R<j / dc\~ . „ Ri- z+z R<T dc\ dc% . de*? \ 

 (21) ds 2 = ± j- p p — T + 2 - 



R T R C \^itf 2 2 Rt — Rd 4\C\4\C 2 J\C\) 



« 8. La diversità di natura fra le caratteristiche di una superfìcie ad 

 indicatrice ellittica e quelle di una superfìcie ad indicatrice iperbolica, più 

 che dalle equazioni differenziali (11) e dai precedenti teoremi, si rivela per 

 altro nella ricerca delle equazioni che le rappresentano in coordinate qua- 

 lunque. Mentre infatti lungo le asintotiche di una superfìcie a curvatura 

 negativa si ha 



Di du 2 -f- 2 D 2 du dv + D 3 dv 2 = 0 , 



per le caratteristiche di ima superfìcie a curvatura positiva si trova l'equazione 



(EDiD 3 — GD, 2 — 2ED 2 2 +2FDiD 2 )^ 2 4-2(2FD,D 3 — GDiD,— ED 2 D 3 )^y+ 

 + (GD!D 3 — ED 3 2 — 2GD 2 2 -f-2FD 2 D 3 )tfo 2 =0 



la quale, per la sua complicazione, rende in generale nei singoli casi molto 

 difficile la determinazione diretta delle linee suddette. 



« Tuttavia ha interesse lo studio della trasformazione di queste linee 

 per una deformazione infinitamente piccola della superfìcie, e quello delle 

 proprietà che ha la superfìcie a due falde composta dagli spigoli di regresso 

 delle sviluppabili circoscritte lungo le linee delle due famiglie caratteristiche. 

 Ma, per non sorpassare i limiti prefìssi ad una comunicazione, mi occuperò 

 di questo argomento in un'altra Nota ». 



