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e poiché la (5), supposta vera, ci dà 



r Ml — 2_ K L > 1.2..(s— 1) Z- Dar, ..Ttó?.. 



così, dopo la sostituzione, avremo 



m—l—s—l 



V 7 iy (H-D(H-2)-(H-*-i) y ^*PgU 



Z_ l ; 1.2.. (s— 1) Z_ ^ ..Da?- 



e se riuniamo i termini corrispondenti al medesimo valore di h-\-k, dopo 

 avere osservato che 



h=0 



otterremo subito 



1 . 2 .. X ^,''7 .. 7)^?<x, 



cioè la formula che dovevamo dimostrare. La (5) può dunque considerarsi come 

 dimostrata in generale, e le relazioni le quali fanno sì che la (1) sia inte- 

 grabile per quadrature diverranno le seguenti 



(n P « _y Vi (A+i)(/ ì +2)..(A+ s -i) v ^pgU _ 0 



(bj r_» i) l.2..(s— 1) ~ 



7i=0 x ' «i-afe 1 ft 



per s = l, 2, 3, .. , m — 1 . Ma esse sono suscettibili di una ulteriore sempli- 

 ficazione, la quale ci darà il modo di scrivere le equazioni differenziali della 

 forma (1) per le quali le (6) sono verificate. L'ultima delle (6), corrispon- 

 dente ad s = m — 1, ci dà 



■r \p(;n) 



pr 2 =(m-i)]T^ 

 «i c a ' 



e la penultima, corrispondente ad s = m — 2, che sarebbe 



Pr ) 3 = (m _ 2) y _ (m-2)(m-l) y D 2 P^ 



quando si tenga conto della precedente, diventa 



Z->2 p(m) 



p £ «, _ (m—l) (m—2) V ^ p '"-i 



■T Wl— 3 ■ - 



« Supponiamo ora che, procedendo nel medesimo modo, si sia giunti ad 

 ottenere dalle (6) anche la relazione 



1.2..(r-l) ai Z._D^« i ..-3^« r _ i 



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