ed andiamo a dimostrare che si ha pure 



pW _ (m-l)(m-2)..(m-r) y 1^. 

 Kw-«+n— l.2...r Z_ 7>#« "7>a?« 



a,..a r i >■ 



« La (6) per s = m — r diventa 



p<*> i ^ ( A+l)(fe+2)...(A+m— r— 1) y V' P/^-,-i 



±W + i> — 2_^-^ ^ 1.2...(m— r— 1) 2_ 7>a?- 



e poiché per h=l, 2,.. r, si ha h-\-m — r — l^m — r così sarà 

 per cui, sostituendo nella precedente, otterremo 



pW y, n> (w-i)(w-2)...(H-2)(frfD y y?a 



±Wn> — ^ l.2...(r— A).1.2...(ot— r— 1) Z_ 7># 8 — 



__ (m—l)(m—2)...(m—r) y yPfi y, )h r(r—l)..(r—h+l) 



l.2..r Z_ ~òx a ..~òXa. C— 1.2... h 



a, .a r 1 »■ ?i=l 



e poiché 



I(-i>» 



1.2. .A 



7i=o 



così avremo 



p(«, ^ = (m—l)(m—2)...(m—r) y yP^ 

 m-Cr+1) 1 . 2 ... r Z. ì^s ..toc 



come appunto si doveva dimostrare. Ne concluderemo quindi che le m — 1 

 relazione (6) equivalgono alle altre 



Z-NS p(m) 

 " *- m—i. 



a t ..a s i s 



per s = l, 2, .. m — 1, e viceversa; e potremo enunciare il seguente: 



« Teorema: essendo <p (x u x 2 , . . , x n ) una funzione qualunque delle 

 n variabili indipendenti tutte le equazioni differenziali a de- 



rivate parziali di ordine m e della forma 



y_£i_ + y („_!), y *»(«■- •«■). y = M 



«i-Om 1 " l s=o a,..a s 1 s si,..*^., 1 m_s_1 



dove M è pure una funzione qualunque di Xi] >x%, . . , x n , sono integrabili 

 per quadrature. 



