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k~Vi 0)- Coi metodi stessi di Dirichlet si potrebbero determinare i nu- 

 meri h 2 , h 3 delle classi per le forme di 2 a e 3 a specie collo stesso deter- 

 minante e trovarne le relazioni col numero h. Ma queste relazioni possono 

 anche stabilirsi con metodi puramente aritmetici e a questo scopo si presen- 

 tano due diverse vie. L'una, come ebbi occasione d'osservare dopo che il 

 presente lavoro era condotto a termine, è stata indicata dal sig. Lipschitz 

 nel 54° volume del Giornale di Creile e consiste nell' applicare alle forme 



di l a e di 2 a specie le sostituzioni a coefficienti interi complessi 



e a determinante aó — /?/ = 1 -{- i. L'altra, seguita da Gauss per l'analoga 

 ricerca relativa alle forme reali, è quella a cui conduce la teoria della com- 

 posizione delle forme ed è appunto a questa estensione del metodo di Gauss 

 che è dedicata la presente Nota. 



« Ne ho creduto inutile pubblicare le dimostrazioni di questi teoremi, 

 che nella citata Nota del sig. Lipschitz trovansi soltanto enunciati. 



" 1. Dovrò far uso costantemente del seguente teorema che si dimostra 

 precisamente come l'analogo per le forme reali ( 2 ) : 

 I. Affinchè due forme complesse 



(a, b, c) (a', b\ c') 



dello stesso determinante D siano equivalenti, è necessario 

 e sufficiente che esistano due numeri interi ( 3 ) x, y, che sod- 

 disfino alla eguaglianza 



(1) ax 1 -\-2bxy -f- cy 2 — a' 

 ed alle congruenze 



(2) {b - b ' )a; + C y^o ) (moda). 



« Ciò premesso e trattandosi di applicare al caso attuale la teoria della 

 composizione delle forme, basterà accennare alla proposizione fondamentale 

 poiché le susseguenti teorie si trasportano inalterate nel nostro campo. 



« Siano r, r' due classi di forme dello stesso determinante D coi rispet- 

 tivi divisori e, a' primi fra loro. Scegliamo nelle rispettive classi due forme 



(a, b, c) (a', b', c') 

 i cui primi coefficienti a, a siano primi fra loro, il che è sempre possibile ( 4 ), 

 indi determiniamo un numero B dalle congruenze compatibili 

 B = b (moda) B = b' (moda) . 



(!) Cf. anche Bachmann, Ergànzung einer Untersuchung von Dirichlet. Mathem. 

 Annalen Bd. 16. 



( 2 ) Cf. le Vorlesungen iiber Zahlentheorie di Dirichlet (3 a ediz.) § 60 Nota 



( 3 ) Qui ed in seguito per numeri interi s' intendono numeri interi complessi. 



( 4 ) Cf. Vorlesungen ecc. § 93. 



