— 592 — 



« Ora, sussistendo la (3), avrà luogo l'una o l'altra delle seguenti con- 

 gruenze 



D = 1 (mod (1 -f if) , D =— 1 (mod (1 -|- if) . 



« Nel 1° caso delle due forme (A) soltanto la 2 a apparterrà alla prima 

 specie e nel 2° caso invece la l a soltanto. 



« Separando la trattazione dei due casi, esaminiamo dapprima il 

 1° caso — D == 1 (mod (1 + if) . 



« Le forme primitive di l a specie da esaminarsi, in base al teorema II, 

 saranno le due : 



(A') (1,0,-D) ((l + ^- ( -f±^). 



« Perchè esse siano equivalenti si richiede e basta (teorema 1) l'esi- 

 stenza di due numeri x, y, che soddisfino l'equazione di Peli 



(4) x 2 — Bf = (1 + if 

 e insieme la congruenza 



(5) x — iy = 0 (mod (1 -f if). 



« Due tali numeri sono necessariamente impari poiché dalla (4) e da 

 D = 1 (mod (1 -4- if) segue 



(x — iy) (x -f- iy) = x 2 -\- y % = (1 -f- i) 2 -f- 2y 2 (mod (1 -\- if) . 



« Ora se uno dei due numeri x, y e quindi l'altro fosse divisibile per 

 il 1° membro della precedente congruenza in forza della (5) sarebbe 

 divisibile per (1 -j- e') 4 e il 2° soltanto per (1 -j- 0 2 - 



« Inversamente se x, y sono soluzioni impari della (4), dalla congruenza 

 (x — y) (x -J- y) = x 2 — y 2 = (1 -f- i) 2 (mod (1 -(- if) 

 segue che x — y non può essere divisibile per 2 poiché lo sarebbe anche 

 x -f- y ; sarà dunque 



x — y==\-\-i (mod (1 -f- if) 



e conseguentemente 



X-iy=l + i-\-y-\-iy = (l-\-i) (y -f- 1 ) = 0 (mod (1 + if) , 



cioè la (5) sarà soddisfatta. Le due forme (A') sono quindi equivalenti o no 

 secondo che l'equazione di Peli: t 2 — T)u 2 = (1 -f- if è solubile o no in nu- 

 meri impari. 



« Passiamo ora al 



2° caso — D == — 1 (mod (1 + if) . 



« Per quanto precede le forme da esaminarsi sono qui le due 



(i,o,-D) ((i + OM, (Tqr^)- 



* Esse sono equivalenti se si può soddisfare in numeri interi l'equazione 

 (4') ^UD(/ 2 = (1 + *-) 2 



e la congruenza 



(5') x — y = 0 (mod (1 + if) . 



