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« Osservando che D= — 1 (mod (1 -f- i) 3 ) si conclude, con un calcolo 

 del tutto simile a quello del caso precedente, che due tali numeri x, y sono 

 necessariamente impari e inversamente se x. y sono soluzioni impari della (4') 

 soddisfano altresì la (5'). 



« Abbiamo dunque il teorema : 

 III. Il numero h 2 delle classi di 2 a specie è eguale al 

 numero h delle classi di l a specie o ne è soltanto la metà 

 secondo che l'equazione di Peli 



t 2 — Du 2 = (l + i) 2 

 è solubile o no in numeri impari t, u ( 1 ). 



« A complemento di questo teorema si osserverà che il determinante 

 D = 1 (mod 2) può offrire rispetto al modulo 4 i casi seguenti : 



D = ± 1 (mod 4) o D = 2i±l (mod 4) , 

 e siccome il quadrato di ogni numero impari x soddisfa la condizione 

 x 2 = zf. 1 (mod 4), soltanto nella 2 a ipotesi potrà l'equazione di Peli am- 

 mettere soluzioni impari. Dopo ciò si vedrà che il teorema III coincide colle 

 formole (10) (11) della citata Nota di Lipschitz (p. 196). 



Forme di 3 a specie. 



« 3. In una forma primitiva di 3 a specie («, b, c) i coefficienti estremi 

 a, c essendo divisibili per 2, mentre il coefficiente medio b è impari, si ha 

 (6) D == b 2 — ac = =t 1 (mod 4) . 



« Se questa condizione è soddisfatta esistono classi di 3 a specie ( 2 ), il 

 cui numero s' indicherà con h 3 . Notiamo poi che dalla osservazione fatta alla 

 fine del precedente numero discende che nell' ipotesi (6) si ha 



h 2 = — h- 



« Per trovare il rapporto fra i numeri delle classi h, h 3 bisogna cercare 

 in primo luogo (teorema II) quelle forme di l a specie non equivalenti il cui 

 primo coefficiente ha uno dei valori 



<? 2 = 1 , ? 2 -(l + 0 2 > ? 2 = 4. 

 « Ora un numero impari b può offrire rispetto al modulo 4 i casi 

 seguenti : 



b = =fc 1 , =t i , ± (2 -f- i) , ± (2i + 1) (mod 4) 

 e corrispondentemente si ha 



b 2 = + 1 , — 1 , — 1 , + 1 (mod 4). 



( J ) Accade l'una cosa o l'altra secondo che la soluzione fondamentale (T, U) è com- 

 posta di numeri impari o no. 



( 2 ) La forma semplicissima di 3 a specie è data da ^2, 1, * ^ ^ se D=l (mod 4) e 

 da (2,*'. — ^jp) se D = -l(mod4). 



