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« Per la equivalenza della forma (I) con una delle forme (III) è neces- 

 sario e sufficiente, secondo il teorema I e a causa di D = l(mod4), che si 

 possa soddisfare in numeri interi t, u alle condizioni 



(7) t 2 — ~Du 2 = 4, t±u = 0(moà.A) . 



« Similmente la equivalenza della forma (I) con una delle forme (IV) 

 porta il verificarsi delle altre condizioni 



(7') t 2_ J)u * =zA 1+ (2e-|-.l) M = 0'(mod 4). 



« Supponiamo ora che la forma (II) sia equivalente alla (IIIi) ; dovranno 

 per ciò esistere due numeri interi x, y che soddisfino alle condizioni : 



1-f-D 



(1 -\-ifx 2 -\-2ixy — ^_^^ 2 f = ± 



(i + 0 2 * + (i-H) y = o 



« Essendo nel caso attuale 

 1 + D 



i (mod(l + ?) 3 ), 



(i + 0 2 



ne segue che y deve essere divisibile per e se poniamo 



y — (l-\-i)u, (l-\-i)x-{-iu = t , 



le condizioni precedenti si traducono nelle altre 



** — W,= 4 t — (2i-\- l)w=0(mod4) , 

 cioè nelle (7'), ove sia scelto il segno inferiore. 



« Ove si supponga invece la forma (II) equivalente alla (III 2 ) si dovrà 

 avere ancora 



( 1 + iy w * + 2ixy - ±^ f = 4 



e, ponendo di nuovo 



y — (\-\-\)u, (1 -f- i) x -4- tu = t , 

 ne risulteranno le condizioni stesse (7') colla determinazione superiore pel segno. 



« Similmente perchè la forma (II) sia equivalente ad una delle (IV) si 

 ritrovano nuovamente le condizioni (7). 



« Se la coppia (t, u) di soluzioni dell'equazione di Peli t 2 — Du 2 = 4 

 verifica le (7) o le (7') con un determinato segno, l'altra coppia (t, — u) veri- 

 fica evidentemente le condizioni stesse colla scelta opposta del segno. E poi 

 facile vedere che una tal coppia di soluzioni è necessariamente composta di 

 numeri impari. E infatti da D = 5 (mod (l-f-0 5 ) segue: 

 (8) (t — u) (t + u) = 4 (1 + u 2 ) (mod (1 + if) , 



che si può anche scrivere 



(8') (t — (2i + 1) u) (t + (2i -f- 1) M ) == 4 (1 + tu 2 ) (mod (1 + if) . 



