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« Ora quando sia soddisfatta la congruenza (7) o la (7'), uno dei due 

 fattori 



t — u , t -j- u , 



o uno degli altri 



t — (2« + l)«, « + (2i+l)w 

 sarà divisibile per (1-f-z) 4 . Se uno dei due numeri t, u, e quindi l'altro, 

 fosse divisibile per l'altro fattore nel 1° membro della (8) o della (8') 



sarebbe divisibile per (1-j-z) 3 , mentre il 2° membro lo sarebbe solo per 

 (1 -j- «) 4 , il che è assurdo. 



« Inversamente suppongo che t, u sia una coppia di soluzioni impari del- 

 l'equazione di Peli : l 2 — Dm 2 = 4 ; dico che sarà soddisfatta o la (7), o 

 la (7'). E invero dalla (8), u essendo impari, segue che (t — u)X (t-\- u) 

 è divisibile per (l-f~0 5 e P er conseguenza uno dei due fattori, poniamo 



t — u , 



sarà divisibile per (1-j-z) 3 . Allora o sussisterà la congruenza 



t — u = 0 (mod 4) 



o l'altra 



t — u = U{\-\-i) (mod 4). 

 « Quest'ultima, essendo u impari, quindi 



(1 -\-i) 3 u = (l i-i) 3 (mod 4) 



può anche scriversi 



*-f-(2&'-fl)*«==0 (mod 4) 

 e così è dimostrata l'asserzione. 



« Di qui e dal significato delle condizioni (7), (7') per le esaminate equi- 

 valenze, risulta che se l'equazione di Peli: t 2 — Da 2 = 4 è solubile innu- 

 meri dispari, delle 6 forme esaminate le due prime soltanto appartengono a 

 classe diversa, poiché, ove siano soddisfatte le (7), le due forme (III) sono 

 equivalenti alla (I) e le (IV) alla (II), mentre se sono soddisfatte le (7') 

 le due forme (III) sono invece equivalenti alla (II) e le forme (IV) alla (I) (*). 

 Si ha dunque in questo caso 



h z — —h = h 2 . 



« 5. Restando ancora nel caso e) D = 5 (mod (1 -f~0 5 )i dimostriamo che 

 se l'equazione di Peli è insolubile in numeri impari le 6 forme (I), (II), 

 (IIIi), (III 2 ), (IVi), (IV 2 ) appartengono tutte a classe diversa e in conse- 

 guenza si ha 



h 3 = — h = — h 2 . 

 « Dopo quanto si è visto al numero precedente la proprietà da dimo- 



0) È facile vedere che si presenterà il 1° o il 2° di questi casi secondo che 

 D = 5(mod8) o D = 4i + 1 (mod 8). 



