strarsi sarà stabilita ove si provi che nell' ipotesi fatta nè le due forme (III), 

 nè le due forme (IV) possono essere fra loro equivalenti nè una delle forme (III) 

 ad una delle forme (IV). 



« Ora se le due forme (IIIi) (III 2 ) fossero equivalenti, ne risulterebbe 

 pel teorema I l'esistenza di due numeri x, y determinati dalle condizioni 



Ax 2 + 2xy + - -7 ~ V 2 = ^ 



2x + ~ 7 ~ y — 0 (mod 4) . 



« Essendo - — impari, ne segue che ?/ deve essere multiplo di 2 e 

 se poniamo 



y = 2u, 2x-\-u = t , 

 avremo pei numeri t, u le condizioni 



f — J)u 2 = 4 

 t — u + — - ^-S M == o (mod 4) . 



tt Ora se si osserva che, per ipotesi, t, u sono divisibili per l-f-£, mentre 

 ^. ^ (1+^)3 (mod 4), 



l'ultima congruenza si muta nell'altra t-\-u = Q (mod 4), che pel n. 4 è 

 impossibile a verificarsi non essendo t, u impari. 



« Similmente l'equivalenza delle due forme (IVi) (IV 2 ) porterebbe alle 

 condizioni 



4 ^ + 2 (2^ + 1)^ + ^-1 + ^~) f = ± 



2(2i+l)x+(i-l+ ] ^~Jy = 0 (mod 4); 



qui sarebbe necessariamente y pari e ponendo 



y = 2u 2x-\-(2i-\- l) u = t, 



avremmo 



f — Da 2 = 4, * + (2* + 1)^ = 0 (mod 4), 

 cioè le (7') n. 4. 



« Supponiamo ora che sia (IIIi) equivalente a (IVi), o ciò che torna lo 

 stesso (III 2 ) a (IV 2 ). Avremo le forinole 



ite* + 2xy + 1 | D y 2 = 4 



— 2?'«2? + - — y = 0 (mod 4) , 



dove sarà pari, e ponendo 



y = 2u 2x -\-u = t 

 ne risulteranno nuovamente le (7'). 



