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« In fine supponiamo (IIIi) equivalente a (IVO ossia (III 2 ) a (IVO e 

 dovranno verificarsi le condizioni 



Ax 2 -j- 2xy -f- ^ ^ y 2 = 4 



2 (1 + «) ar + y = 0 (mod4) , 



dove essendo y pari, se si pone 



y = 2u 2x -\-u = t , 



risulta 



t* ^ D# = 4 

 * — (2 — t) « = 0 (mod(l -f-a) 3 ) . 

 « Ma da quest'ultima, essendo t,u divisibili per quindi anche 



t -\- (2 — i)u = 0 (mod (1 -f- e') 3 ), segue 



(9) * 2 + (4« — 3) m 2 = j t — (2 — i)u | j.* -f (2 — i) u^ = Q (mod 8) . 



« Ora abbiamo D = 5 (mod (1 -j- 0 5 ) e quindi 



o D = 5(mod8), o D = Ai -f 1 (mod 8) , 



da cui 



+ (4? — 3) u 2 = 4 -f 2 (2« -f- 1) m 2 (mod 8) , per D == 5 (mod 8) 

 f 4- (4« — 3) u 2 ^= 4 — 2w 2 (mod 8) , per D == Ai -f 1 (mod 8) ; 

 d'altra parte si ha 



u 2 = 0 (mod 4) se a == 0 (mod 2) 

 = 2£ (mod 4) se ic ~l~\- i (mod 2) 



e le precedenti diventano 



t 2 -f- (4/ — 3) m 2 = 4 (mod 8) 



o 



t 2 + (4? — 3) u 2 = 4 (1 + 0 (mod 8) , 



risultato che contraddice la (9). 



« 6. Passando ora all'esame dell'ultimo caso 



d) D = — 5(mod(l + ?') 5 ), 



basterà accennare ai calcoli del tutto simili ai precedenti. Fra le forme (B') 

 n. 3 le 6 seguenti sono di l a specie: 



(I) (1,0,-D) , (II) ((1 + OM ^pji) 



ano . W 



(IVO (4,2+i,*+l-^j, (IV 2 ) (4,-(2+o,i+i-^) 



e le prime due appartengono certamente a diversa classe (n. 2). 



« Se l'equazione di Peli t 2 — Du 2 = 4 ammette una coppia di soluzioni, 

 necessariamente impari, che soddisfino alla condizione 



(10) t — w==0(mod4), 



