le due forme (III) sono equivalenti alla (I) e le (IV) alla (II) ; che se in- 

 vece è soddisfatta l'altra 



(10') t — {2 + i)u = 0 (mod 4) , 



le forme (III) sono equivalenti alla (II) e le (IV) alla (I). Ogni qualvolta 

 l'equazione di Peli ammette soluzioni impari, si verifica la (10) o la (10 f ) ( 1 ). 

 e perciò si ha 



h = y = A 8 . 



« Se invece non esistono di tali soluzioni impari le 6 forme apparten- 

 gono tutte a classi diverse e si ha 



h 3 ='—h = — A 2 : 



l'J<\ fotti $g .0. 3 



« Possiamo raccogliere i risultati ottenuti nel teorema : 

 IV. Il numero delle classi di 3 a specie per un dato de- 

 terminante D = 1 (m o d 4) è la metà del numero delle classi 

 dil a specie se D = =±: 1 (mod(l -\-tf) , oppure quando, essendo 

 D = zt 5 (mo d (1 -f- z) 5 ), l'equazione di Peli t 2 — Du 2 = 4 ammetta 

 soluzioni impari; altrimenti esso ne eguaglia soltanto la 

 sesta parte (Cf. Lipschitz, 1. e, formole (12) (13)) ». 



Matematica. — Sulle funzioni coniugale. Nota del Corri- 

 spondente Vito Volterra. 



« 1. È hen noto il legame esistente fra la teoria della equazione differen- 

 ti ^ . ~ò 2 u 



complessa. Cauchy mise in evidenza una tale relazione che servì di fonda- 

 mento alle ricerche di Kiemann. 



« Si sa che, se si parte dalla (a), ad ogni integrale u x corrisponde una 



, . , , , "ÒUi ~ÒVi 1)U X ~ÒV X 



funzione coniugata v x , tale che = , = — , e se u% e un 



& ix ~èy l>y ~ìx 



altro integrale della (a) e v% ne è la corrispondente funzione coniugata u x -f- i Vi 

 resulta una funzione monogena di u 2 -f- i v%. 



« Ora, se da uno spazio a due dimensioni si passa ad uno a tre dimen- 

 sioni , alla equazione differenziale (a) viene a corrispondere l' altra (b) 



~b 2 U ~ò 2 U ~Ì> 2 U 



— - -j- — - -\ = 0. La teoria di questa equazione differenziale ha pre- 



~ix ~òy ~òz> 



ceduto quella su mentovata; anzi i metodi di Gauss, di Dirichlet e di Green 



ziale J 2 u = —— r -4- — — - = 0 (a) e la teoria delle funzioni di una variabile 



{ l ) Si presenta l'un caso o l'altro secondo che 



D=— 5 (mod 8) o D = 4« — 1 (mod 8). 



Rendiconti. 1889, Vol. V, 1° Sem. 77 



