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relativi alla (b) hanno dato origine a quelli applicati alla (a) da Kiemann, 

 Neumann ecc. Però, nel caso dello spazio a tre dimensioni, allo studio della 

 funzione u non venne mai collegato, in generale, lo studio di un' altra fun- 

 zione coniugata. Solo nel caso dei potenziali simmetrici fu riconosciuta la 

 esistenza di una funzione che, sotto il nome di funzione associata, venne 

 elegantemente applicata dal prof. Beltrami in varie ricerche. 



* Se si passa dalle tre alle quattro e in generale alle n variabili si 



ottiene la equazione differenziale ]T — - = 0. Le ricerche fatte su di essa 



da Beltrami, Kronecker ecc., sono state eseguite senza prendere in considera- 

 zione nessuna funzione coniugata alla u. Lo stesso si dica per gli spazi curvi : 

 l'equazione differenziale che si ottiene annullando il parametro differenziale 

 del 2° ordine ha dato luogo allo studio di una funzione coniugata solo nel 

 caso in cui lo spazio curvo fosse a due dimensioni. 



« La teoria delle funzioni coniugate è però suscettibile di essere estesa 

 al caso generale delle n variabili e una tale generalizzazione forma appunto 

 il soggetto della presente Nota. Nel caso di n — 2 essa dà la teoria ordinaria 

 delle funzioni coniugate e nel caso dei potenziali simmetrici porta alle fun- 

 zioni associate del prof. Beltrami. 



« 2. Prenderò le mosse dal caso di uno spazio ordinario a tre dimen- 

 sioni mediante le considerazioni seguenti. 



u Nell'elettromagnetismo si esaminano due elementi, cioè i poli magne- 

 tici e le correnti elettriche. Ogni polo magnetico è individuato dalla posizione 

 di un punto delio spazio e dalla massa magnetica in esso concentrata, mentre 

 ogni corrente elettrica è individuata da una linea chiusa che è il circuito 

 che essa percorre e dalla intensità della corrente. 



« Abbiasi ora un sistema qualunque di masse magnetiche. Prendiamone 

 il potenziale rispetto ad un polo di massa 1 e di posizione variabile nello 

 spazio ; si otterrà una funzione dei punti dello spazio tale che la sua derivata 

 secondo una direzione qualunque sarà la componente dell'azione magnetica in 

 quella direzione. 



« Analogamente, prendiamo il potenziale delle stesse masse sopra una 

 corrente di intensità 1 il cui circuito sia una linea chiusa qualunque dello 

 spazio. Otterremo una funzione che, secondo una denominazione che ho adottato 

 in alcune ricerche ('), potrà chiamarsi una funzione delle linee dello spazio. 

 Ora da un dato circuito passiamo ad un altro infinitamente prossimo defor- 

 mando di infinitamente poco il circuito iniziale in prossimità di un certo 

 punto. Una tale deformazione si potrà evidentemente ottenere facendo descri- 

 vere ad un elemento d'arco del circuito un'area piana infinitesima. 



(i) Atti d. E. Acc. d. Lincei voi. Ili, fase. 9-10, 2° sem. 



