« Da questa definizione resulta che, essendo S r e S n _r due iperspazii 

 normali fra loro in un punto comune, scegliendo convenientemente le loro 

 direzioni, si ha 



dF dd> 



« 3. Prima di procedere allo studio delle proprietà delle funzioni con- 

 iugate ed alla loro effettiva costruzione dimostreremo alcuni teoremi fonda- 

 mentali sopra dei sistemi di equazioni differenziali simultanee alle derivate 

 parziali. 



a Teorema 1°. La condizione necessaria e sufficiente af- 

 finchè il sistema di equazioni differenziali simultanee 



sia integrabile, è che si abbia 



supponendo che le Xi siano in numero di n, (xi , x 2 ... x n ) , e 

 le (1) siano ottenute per tutte le combinazioni r -f- 1 a r-j-1 

 degli indici 1,2,.-...».; oltre a ciò le p e le P mutino segno 

 per una trasposizione degli indici 



t Che la condizione sia necessaria resulta dall' osservare che, se sono sod- 

 disfatte le (1), si ha 



r+2 



r+2 ~ l s— 1 



r+2 ->p. . . . . 

 V ( ( ly - 8 s-i - h-i h+i - V+2 



1 —it—l l t+1 '" *«-!■! 's+1 ,-, V+2 



0 . 



Dimostriamo ora che la condizione posta è anche sufficiente. 



«Prendiamo M. h ^ .... h , n arbitrarie e M^^'.,.^ (con hi , U% ... K < #) 

 date da 



-^7" = (— l) r+1 \PK -... K n — 2 r s (— 1) — J • 



« Otterremo in tal modo le M; ti & 2 ... \ determinate a meno di funzioni 

 arbitrarie di 



(!) Qui, come in seguito, supporremo sempre che i vari elementi mutino segno 

 per una trasposizione degli indici. 



