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« 5. Il teorema precedente prova la effettiva esistenza delle funzioni 

 coniugate in ogni iperspazio; anzi, poiché se si ha 



F = F \[S r -iÌ, deve resultare <P = d> [[S^Jli 



segue che se n = 2,u, oppure n = 2,u -j- 1 , si avranno specie di funzioni 

 coniugate. 



« Prima di passare al teorema reciproco di quello dato nel § prec, di- 

 mostriamo alcune proprietà delle funzioni coniugate. 

 1° Se 



F|[S,-i]|, *CSn-A]| 



sono coniugate, saranno funzioni coniugate 



^[S^-xl], F|[S,_,]|, 

 se r{n — r) è pari; e saranno invece funzioni coniugate 



fL-JI, -F |[S,A!0|, 

 se r{n — r) è dispari. 

 « Posto infatti 



deve aversi 



onde, se r(w — r) è pari, sarà 

 mentre se r{n — r) è dispari sarà 



2° Se F|[S,-i]| e ^> IQS^—j — sono coniugate e si fanno le 

 posizioni (8) dovrà aversi 



£ ( lS£^ 0 (f >~'-~'- = o 



(9) U, ■ (9 ' } 



y t (_! ) S ^'i --Ws+t-w, ^ 0 r (— 1 )* " 7>gi '- i «-' i «*t- i «-^' _ o 



s V s 



(10) ^ 2 iVv = 0, ^..,^ = 0. 



Reciprocamente se le p soddisfaranno le (9), avremo che 

 esisterà nna funzione <t> coniugata alla F. 



« Le relazioni (9) e (9 r ) resultano immediatamente dalle condizioni di 

 integrabilità a cui debbono soddisfare le p e le q ; così pure il teorema re- 

 ciproco. Per trovare le (10) osserviamo che, posto 



a V ( i \<i 1 r s- l's+r" V-t-i ■ 



0 = ZA— 1 ) 8 ^7 = *V-v-h ' 



Rendiconti. 1889, Vol. V, 1° Sem. 78 



