— 600 — 



« Mediante le operazioni di quadratura indicate nella dimostrazione del 

 teorema 1°) potremo determinare le P'j, in modo che 



Se le funzioni arbitrarie che debbono introdursi si sceglieranno tali da sod- 

 disfare alla equazione J 2 = 0 , come debbono soddisfarvi per dato le pi jS , 

 otterremo le P'j che verificheranno anche esse alle equazioni differenziali 

 (13') >P'i=t). 

 « Sostituendo nelle (11) avremo quindi 



1 t¥r=o (f-M~«), 



onde, essendo c una costante, 



, = C 



« Le (13) e (13') restano soddisfatte prendendo invece delle P' s , le P s 

 date da 



Ps — P s ~\~ &s &s 



essendo le a s delle costanti arbitrarie. Ora abbiamo 



« Basterà dunque scegliere le costanti a s in modo che sia a s = — e , 



i 



perchè si abbia 



« Pel teorema 1° potremo dunque prendere le M JS tali che 



i vXs 



e, come nel caso precedente, se sceglieremo le funzioni arbitrarie che è neces- 

 sario introdurre, in modo che verifichino la condizione z/ 2 = 0, otterremo le M 

 che soddisfaranno questa equazione e quindi il problema propostoci sarà riso- 

 luto anche in questo caso. 



Caso generale. — Per trattare la questione nel caso delle p con r 

 indici supporremo di averla già risoluta nel caso delle p con r — 2 indici, 

 e mostreremo che la soluzione nel caso degli r indici si può far dipendere 

 dall'altra. Essendo dunque già sciolto il problema nel caso di r = 1 e di 

 r — 2 , potremo ritenerlo risoluto nel caso generale. 



« Partiamo dalle pi.„.ì ed eseguiamo su di esse le operazioni di qua- 

 dratura indicate nella dimostrazione del teorema 1°) per trovare le Pi^..;^ 

 che soddisfano le equazioni 



