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dove s rappresenta la densità, si conclude tosto dalle equazioni precedenti: 



d log e 



dt 



~òX ~ìX 



1x ~ìy ~òz 



"?U ~òu 



~èx. ~ìy ~iz 



~ìip i\ip -^ip 



~òx ~òy ~òs 



« Di qui scende subito che se il fluido, che si muove di moto elicoidale, 

 è incompressibile n dev'essere una funzione di A, tp, l, cioè : 



H = [X (A, t) . 



« Affinchè le relazioni (a) sieno soddisfatte le tre funzioni : X, <p, xp, 

 che bastano a definire il moto del fluido, debbono soddisfare a due equazioni 

 alle derivate parziali, le quali si ottengono eliminando /t fra le equazioni (a). 

 L'eliminazione in discorso si effettua subito in modo simmetrico come segue. 



Si moltiplichino le (a) ordinatamente per : 



e si sommino membro 



~òx 1y ~èz 



a membro; di poi, si moltiplichino le stesse equazioni ordinatamente per: 



"7^^- "7^^ "(^A 



— ' — e si sommino di nuovo ; si ottengono così le due equazioni : 



lx ~ìy 12 



J(tp,ìp)+ Uip =0 

 J(X , <p)-j-U(X,xp) = 0 



dove col simbolo Jif> s'intende il primo parametro differenziale di xp e col 

 simbolo J {xp, xp) è designato il primo parametro differenziale misto di y>, xp, 

 cioè : 



K * r> ìx ~òa 1 7)y ~òy 1 ~òs 7>.<r 



u Queste equazioni presentano il vantaggio di contenere soltanto simboli 

 di significato invariantivo, per rapporto alla forma differenziale quadratica, 

 che dà il quadrato dell'elemento lineare; e però, nota la espressione di questo, 

 esse possono essere subito formate in un sistema qualunque di coordinate 

 curvilinee. 



« Tra queste due equazioni si può immediatamente eliminare X; basta 

 ricavarne l'espressione dalla prima e sostituirla nella seconda. Si giunge in 

 tal guisa ad una equazione alle derivate parziali del second'ordine, di tipo 

 invariantivo, fra le funzioni (p e xp, che reputiamo inutile di qui trascrivere. 



« Adunque, noi possiamo assegnare ad arbitrio luna delle funzioni </:, xp 

 e determinare l'altra come soluzione dell'equazione alle derivate parziali 



