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anzi detta : allora la prima delle (b) ci somministra immediatamente la fun- 

 zione X. L'unica limitazione, imposta dalla natura della questione, alle fun- 

 zioni (f> e xp è che esse abbiano le derivate prime monodrome, continue e 

 finite in tutto il campo occupato dal fluido. 



« Trovate tre funzioni : A, y, xp, soddisfacenti alle (b), le (a) danno 



~ì(p ~ì(p ~ò<p 



subito fi: per esempio, moltiplicandole ordinatamente per: 



~òx ~ì>y ~òs 



e sommandole menbro a menbro, esse conducono all'equazione: 



fi 



7tA 7)A "T^A 



Ina: ~ò,y ~òs 



~ì(p l*p ~òg> 



l>cc ~òy 7>z 



~è\p ~èxp ~jip 



~òx l>y is 



dalla quale si ha immediatamente jtt. Anche quest'ultima equazione è in fondo 

 di tipo invariantivo ; giacché il determinante funzionale delle tre funzioni 

 diviso per la radice quadrata del discriminante, del quadrato dell'elemento 

 lineare, è un invariante assoluto, il quale si riduce semplicemente al deter- 

 minante funzionale, quando le coordinate sieno le ordinarie, cioè le cartesiane 

 ortogonali. 



« In un moto elicoidale le linee di flusso, coincidendo colle vorticali, 

 sono le intersezioni dei due sistemi di superficie: 



A - cost. , xp = cost. . 



« In base a quanto sopra abbiamo notato affatto in generale, le super- 

 ficie : xp = cost. son qui tagliate dalle superficie : y> = cost. lungo le traiet- 

 torie ortogonali alle linee di flusso, che sovr'esse tracciano le superficie : 

 X = cost. 



« Possiamo agevolmente verificare a posteriori che così avviene di fatto. 

 In vero, la condizione di ortogonabilità dei due anzi detti sistemi di linee è: 



7>(A, xp) 71 (y , xp) 71 (A , ip ) D (y , xp) ?» (A , xp) ^ (cp , xp) 

 D(y , gyì (y, *) D (* , M) 1{* , %) "ò (x,y) Ti (x, y) 



0, 



« Ma ricorrendo ad un notissimo teorema, concernente il prodotto di due 

 matrici, si ha l' identità : 



7i(A,t//) !>((/>, xp) -)(X,ip) D (y,xp) ì(X,tp) ~è (y,xp) 

 %y,t) ì (x ,x) ~ò(x,y) ~ò {x,y) 



J(X ,y) J(X,xp) 

 J(ip,cp) Jip 



e però la condizione di ortogonalità, sovra scritta, è una immediata conse- 

 guenza delle (b). 



