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« Prima di occuparci di soluzioni particolari delle (b) sarà bene aggiun- 

 gere un'altra osservazione generale. 



« Consideriamo una superficie di flusso, cioè, il Inogo di una successione 

 continua di linee di flusso. Designamo col simbolo n la normale alla super- 

 ficie e con a una porzione qualunque di essa, limitata dal contorno s. Allora 

 dalla ben nota formula: 



| Ulto ~ìv\ . . . ìl\u ~hu*\ . : , (~èv ~ùu\ , v ) , 

 l \\ costoi-f- — — ~)cos(rt»)4- — — — )cos(^)> fltf = 



^{udx -f- + wefó) 

 trattandosi di moti elicoidali segue ovviamente: 



^{udx -j- ycfo/ -j- ^ife) === 0 ('). 



« Supponiamo che la superficie di flusso sia una superficie tubolare, cioè, 

 il luogo di tutte le linee di flusso, che passano per una linea chiusa. Pren- 

 diamo una porzione e di tubo limitata, tra due superficie qualunque, che 

 tagliano tutte le linee di flusso della superficie tubolare e diciamo s e s r 

 gli orli di questa porzione. Applicando il lemma ricordato, si ha qui: 



J(ùdx -j- vdy -f- wdz) = J (udx -j- vdy -f- wdz) , 



dove le linee rientranti s e s' s'intendono percorse nello stesso verso. Da 

 questa formula segue subito che « generalmente parlando, su una superficie 

 tubolare di flusso le traiettorie ortogonali alle linee di flusso non possono 

 essere linee chiuse ». Infatti, se la s' fosse una linea che taglia ad angolo 

 retto tutte le linee di flusso, lungo di essa sarebbe: 



dx , . , dy , . dz ■ 



u W+ v M+ n ì? =0 ' 



e però anche lungo qualsivoglia linea chiusa s, circondante il tubo, sarebbe : 



{udx -f- vdy -f- wdz) — 0 ; 



ossia, 1! espressione : udx -f- vdx -j- wdz riuscirebbe un differenziale esatto, 

 circostanza che esclude l'esistenza della rotazione delle particelle fluide. E 

 però, sulle superficie tubolari di flusso, almeno in generale, le linee di flusso 

 non possono ammettere traiettorie ortogonali chiuse. 



(') Si noti ohe : 



p cos (nx)-\-q cos (ny) -f- r cos (nz) = cos ^ nx ^ v cos ( m J) w cos ( ra ~)^J = ^ ■ 



Rendiconti. 1889, Vol. V, 1° Sem. 79 



