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« È facile, in base alle equazioni (b), trovare estese classi di moti eli- 

 coidali, oltre quelle indicate dal prof. Beltrami nella nota ricordata. Ci li- 

 miteremo ad indicarne una abbastanza semplice. 



« Facciamo uso di un sistema di coordinate cilindriche : o, 0, z. 



« Il quadrato dell'elemento lineare è qui: 

 dg 2 + q 2 dd 2 d& 2 ; 

 quindi il suo discriminante è uguale a q 2 , e si ha immediatamente : 



V ^ ' rj lQ lo ' Q 2 1)0 IO ~ ~èZ lz 

 « Assumiamo : rp=6, allora la prima delle (b) ci dà subito : 



1)0 ' 



e la seconda, sostituendovi per A, xp le espressioni precedenti, diviene: 



1)Q ~ÒQ~h& ~^ 1)Z 1)6 1Z 



ossia : 



io 



« Non • è difficile trovare soluzioni particolari di questa equazione : anzi 

 un procedimento per formarne, quante se ne vogliono, è stato esposto dal 

 prof. Beltrami nella nota citata. Una soluzione, che oifre un certo grado di 

 generalità, è la seguente. 



« Si assumano due funzioni arbitrarie: U(q) e Z(z) dei rispettivi argo- 

 menti g e z (s'intende, il tempo vi può anche figurare) ; e due altre funzioni 

 arbitrarie: Q(tì) e &i(0) della sola 6; allora la funzione: 



<f =JV%) +j]/Z{z) — Q{6) + 0! (6) 



soddisfa alla nostra equazione alle derivate parziali, giacché per tal funzione 

 si ha manifestamente : 



« Adottando la soluzione precedente, si ha subito: 



e questa relazione, ritenendovi A e 0 costanti, dà le equazioni delle linee di 

 Musso nei piani meridiani (in coordinate ortogonali: q e z). 



« In generale, trovata una qualsivoglia funzione y> soddisfacente alla 

 nostra equazione alle derivate parziali, si ha: 



udx + vdii + wdz = dw — — dd = — do -f- ~ dz , 

 J 1 T IO io s 1 lz ' 



