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§ 2. 



« Dalla (1) discende immediatamente questo teorema : 

 «Siano Si s 2 ... s m m sistemi omologhi, i quali partendo da 

 una comune posizione iniziale, descrivano la stessa traiet- 

 toria; e quando passano per una posizione comune qualsi- 

 voglia, siano T\ T 2 ... T m le espressioni delle loro forze vive, 

 <?Ui i o r U 2 , <^U m i momenti virtuali delle forze. Quando sopra 

 un altro sistema S omologo agisca il momento virtuale 



h <HJi -j- 4 éU z -f- ••• + , 



esso percorrerà la stessa traiettoria, se le forze saranno 

 indipendenti dal tempo, se si verificherà 

 Ti dl x + T 2 ih + T m dl M = 0 , 

 e se nella posizione iniziale, la direzione essendo eguale a 

 quella degli altri sistemi, la sua forza viva sarà 



Ti ^i — f- T 2 A 2 — | — ... T m X m . 

 « Gli m sistemi Si , s 2 1 — \ s m , si potranno infatti considerare come 

 omologhi ad un altro sistema s , che percorra la medesima traiettoria, e per 

 ciascuno di essi varrà l'equazione (1), mettendo successivamente k = l ,2... m. 

 Ora sommando le (1) moltiplicate rispettivamente per l k si ha 



2 n X k ó\J k = ÓXJ2 h h r k * + ÓY 2 k 4. r* 4?- ' 



dt 



Ma se le X k soddisfano alla condizione 



2 k T k dl k = 0 , ossia 2 k v H 2 dl k = 0 , 



allora ponendo 



2 k T k 2 h = t 2 



si avrà 



2X k d\] k = ^d^-\-^~-ÓN. 



E questa equazione rappresenta appunto la condizione necessaria perchè un 

 sistema omologo ad s , e per conseguenza ad s x s 2 ... s m , sotto l'azione del 

 momento 2 k X k S\J h percorra la medesima traiettoria. Ma a questa condizione 

 bisognerà aggiungere le condizioni iniziali, le quali sono che il sistema S 

 parta dalla posizione iniziale comune agli altri sistemi, e in quella posizione i 

 valori delle derivate di q rispetto al tempo siano 



% dq x r dq 2 % dq n _ 

 dt dt dt ' 



vale a dire, che S abbia la stessa direzione iniziale degli altri, ed una forza 

 viva rappresentata da 



t 2 T = 2 k 4 T, . 



