« Analogamente si troverebbe 



( 14 ) ^ +1 ,,,=t/Di ?( r^ i --H- v ., v .. 



« Ora per le condizioni di integrabilità a cui debbono soddisfare le % 

 si ottiene 



m £ (-!)• ^ | z-.i/5[t:,;;; ^;;.;.t] s^^h 0 • 



« Queste equazioni non sono altro che le trasformate delle equazioni (11). 

 « 6. Nasce ora spontaneamente il pensiero di studiare le espressioni dif- 

 ferenziali 



(15) V y" r~>f-i-i"-ta J d ^ dF' 



~'L'"--i-iv-;,n_| ^ft^— £?0 ^f ft ...f 7 ^ 



K 



■ ks-\ ks+l"- fon 



7 >L— ft„ 



nelle quali si ritengono le F [ [S r _i] | , P' | [S r _i] | due funzioni arbitrarie di 

 primo grado, in relazione alla forma quadratica differenziale 



(17) T r T s E rs dà r d , i s = ds\ 



senza che si ponga alcuna restrizione per i coefficienti F rs , salvo quella di 

 essere F rs = E sr . 



« Cominciamo dal dimostrare che l'espressione (15)- è un invariante dif- 

 ferenziale della forma (17). 



" Supponiamo infatti che sia 



^ .9 -&r$ d£r " ^ r ^ s rs t di $ ■ 



f Avremo 



dF_ y dF_ d Q\-? ir) 



« Onde 



y y r~h r+1 ...h n ~\ dF dF' 



^ — h \_k r+1 ...k n J dQ hi ...h r ) dQ llr .h r ) ~ 



_y y ^P y y rW-C lffSV^O 



^ w dftVA) ^«.-^ r ) r^LA+i-.* Jrf(f ' 



« Ma, con un calcolo semplice, si ottiene 



y y rW..&n-| rfftV-.rO ^ftW"^,) _ 47, 



Z - ;iZ -"Uv +1 ...^Jrf(?/ v ..?;0 ' rfft»,...^) L^r + i...WnJ ' 



