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cui moduli siano tutti maggiori di 2 -4- ij , essendo )] una quantità positiva 

 fissa comunque piccola. 



I. Se un sistema di quantità p n è definito dalle 

 relazioni 



P-l = 0 , = 1 , Pn+X = ttnPn J Pn-l 



(» = 0','l, 2, ...CO) 



si ha per ogni w : 



Pn+l 



Pn 



« Indicando con a la frazione continua 



1 



1 



per la quale le p* sono i denominatori delle successive ridotte, si ha pure : 



II. La frazione continua e è convergente. 

 « Inoltre : 



III. Ogni ridotta della frazione continua a è , in 



1 



valore assoluto, minore di 



1 + '; 



Corollario. Il valore assoluto della frazione con- 

 tinua o" non è maggiore dell'unità. 



« Si indichi con a n — c n+1 1' n -f- l simo quoziente completo della fra- 

 zione continua a, e sia — 1' n simo resto, vale a dire la differenza fra a e 



Pn 



la sua n sima ridotta. Ricordando che per un noto teorema sulle frazioni con- 

 tinue, si ha 



u n+l 



q n 



ne segue il teorema : 



IV. I numeratori dei resti della frazione conti- 

 nua e dànno sempre 



1 



1 + 



« Fin qui le a n erano soggette alla sola condizione di essere, in modulo, 

 maggiori di 2 -f- rj . Se ora si suppone di più che esse abbiano un unico punto 

 limite «, è chiaro che il modulo di questo limite non potrà essere minore 

 di 2 -}~ rj . Inoltre, poiché tanto le p n che le q n soddisfano alla relazione 

 ricorrente 



Xn+i — citi X M Xn— i , 



