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ne segue, per un teorema del Poincaré, che i rapporti > tendono ad 



([n Pn 



un limite determinato, che è luna o l'altra delle radici dell'equazione 



t* — a t -f 1 = 0 . 

 Da ciò, e dai teoremi I e IV, segue immediatamente che: 



V. Al crescere di n, ha per limite quella delle 1 

 quantità 



K«=t|/« 2 -4) 



il cui modulo è maggiore, e quella il cui modulo è 



minore dell' unità. 



« Dei teoremi precedenti si può fare l'applicazione alle frazioni continue 

 cosidette algebriche, in cui cioè le a n dipendono da una variabile complessa x. 

 Poniamo ad esempio 



CCyi Òft OC Cùfl } 



dove supporremo che le b n ed a n abbiano, per n == od., un limite finito e 

 determinato. Anzi, non essendovi restrizione essenziale nel dare a questi limiti 

 valori prestabiliti, porremo per semplicità lim b n = 2, lim a n =;Q . È ovvio poi 

 di supporre che nessuna delle b n sia zero, nessuna delle a n sia infinita; sia 

 dunque B quelle delle b„ che ha il minimo valore assoluto, e se non v' è, 

 si fa B = 2 ; ed A quella delle a n che ha il massimo valore assoluto. Po- 

 nendo allora 



si può enunciare : 



VI. Le radici dei polinomi p n (di grado n in x) , ca- 

 dono tutte entro il cerchio descritto nel piano della 

 variabile complessa %, dal centro x = 0 e con raggio R. 



VII. Per ogni valore della variabile complessai 

 esterno al detto cerchio, la frazione continua a è con- 

 vergente, e trasformabile in una serie di potenze di - 



x 



convergente fuori del cerchio stesso. 



« Nel suo aureo « Handbuch der Kugelfunctionen » , l'Heine dà lo svi- 

 luppo formale 



1 00 



^_b n p n (a) q n (*) , 



x, 



senza però dare alcun criterio per la sua validità effettiva. Sotto le ipotesi 

 che precedono, siamo in grado di dare la seguente condizione di validità per 

 quello sviluppo : 



