di derivazione covariante e controvariante e delle proprietà loro esposte nella 

 mia Nota Sopra certi sistemi di funzioni recentemente pubblicata in questi 

 stessi Rendiconti. La forma differenziale quadratica y 2 ivi considerata sarà qui 

 appunto una forma ternaria di l a classe e varranno ancbe qui le posizioni fatte 

 e le convenzioni e notazioni stabilite in quella Nota pei sistemi covarianti e 

 controvarianti a y 2 ; i sistemi di funzioni, che verrò introducendo, essendo 

 tutti, come sarà facile riconoscere, dell'una o dell'altra natura. I limiti non 

 indicati delle sommatorie si intenderanno essere 1 e 3 e gli indici superiori 

 a 3 dovranno sempre intendersi sostituiti dai resti delle loro divisioni per 3. 

 In fine indicherò con a il discriminante della forma y 2 . 



« Poiché y 2 è una forma di l a classe esiste un sistema doppio fi rs co- 

 variante a y 2 , pel quale valgono insieme le equazioni algebriche: 



I) firs == fisr fipq firs fipr fiqs == &pr, qs 



e il sistema di equazioni differenziali 



II) first = firts ' 



* La forma differenziale quadratica di coefficienti fi rs è quella appunto, 

 che io ho chiamata forma derivata di y 2 , e le equazioni delle linee di cur- 

 vatura della superfìcie di elemento lineare y si hanno dalle 



1) 2 S (fi rs -f- a)a rs ) dx s = 0, 



ponendo successivamente per co le tre curvature principali della superfìcie, 

 cioè le tre radici tutte reali della equazione 



2 — (fili + ««11) (/?28 + ««2») 0*33 + ««33) = 0. 



« 1. Se queste tre radici sono tutte eguali fra di loro e nelle (1) si pone 

 per co il loro valore comune, esse si riducono ad identità, cioè per questo va- 

 lore di co si hanno le 



firs ~~T~ w #ts = 0 



e, applicando a queste la derivazione covariante a y 2 e ricordando che le a rs t 

 sono identicamente nulle, le 



first + w t Cl,rs = 0. 



Poiché a è essenzialmente positivo, le (II) conducono in questo caso alle « { = 0, 

 cioè ci dicono che co è costante. Questa stessa dimostrazione valendo per una 

 superfìcie di quante si vogliano dimensioni, abbiamo così una dimostrazione 

 semplice puramente analitica di un teorema geometricamente evidente, secondo 

 il quale ogni superfìcie ad n dimensioni, le cui curvature principali siano 

 tutte identicamente eguali fra di loro, è una sfera. Di più concludiamo che 

 il sistema triplo fi rstì che per le (II) risulta dei coefficienti di una forma 

 differenziale cubica covariante a y> 2 , nel caso che (p rappresenti l'elemento 

 lineare di una sfera di quante si vogliano dimensioni, è identicamente nullo : 

 o, in altri termini, che è identicamente nulla la forma cubica ricordata. In 

 questo caso evidentemente ogni sistema triplo ortogonale di superfìcie a due 



