dimensioni contenuto nella sfera a tre dimensioni è tale che le superfìcie di 

 due sistemi si tagliano secondo linee di curvatura della sfera: cioè <p 2 e la 

 sua forma derivata si riducono sempre insieme a contenere soltanto i qua- 

 drati dei differenziali delle variabili. 



« 2. Se la superfìcie di elemento lineare g> ha due curvature principali 

 eguali fra di loro e ad w e la terza eguale a q, esistono un sistema sem- 

 plice b r ed una funzione X, pei quali valgono insieme le 



2) ftrs -f" ««rs = 't-br b s 



3) 2 r b r b m = 1. 



Notando poi che la somma delle tre curvature principali della superfìcie è 

 eguale a — 2 rg a (rs) /? rs , dalle (2) si conclude facilmente che è 



X = ù) Q. 



In questo caso le (2) conducono alle 



4) (ìrsl — X t b r b s + A (b r b st + b s b rt ) — w t a rs 

 e le (II) prendono la forma 



(II') X(b t br S —bs b rt ) -\-Xb r (b ts — b st ) -\-b r (X s b t — X t b s ) -f- <a t a rs — w s a rl = 0 . 

 Poiché dalle (3) si hanno le 



posto 



5) ,«•— ^« r è«>, v = 2 t Q t b«\ 



le (II') danno successivamente le 



Xb rs =^{brb s — a r s) J rb r (Q s -\-X2tb s tb a) )-\-Xb !i Stbrtb n) — vb r b s , 

 Qs + X2 t b st b^ = v b s , 



A b rs = (|« + v) b r b s — ,tt a rs — Qr b s , 



così che alle (II') possono sostituirsi queste ultime e le 



b r («s b t — OO t b s ) + |t* {drl b s — Ctrs b t ) -j- (O t ct rs — a rt = 0 , 



ovvero le 



a) w t = (tt b t 



e le 



/?) X brs = v b r b s — fi ars -\- K bs • 



Da queste avendosi 



2 r b r {br+i r+2 b r +2 r+i) == 2 r br 1 ~j — ~~j ) == 0 , 



\aX r+2 OjX r+\l 



è dimostrato che le b r sono proporzionali alle derivate di una stessa fun- 

 zione xp rispetto alle x r , il che, se non è \i = 0, è detto anche dalle («), 

 le quali in tal caso dicono di più che xp è una funzione di w, per la quale 

 potremo prendere la stessa w. Nel caso di ,u = 0 le (a) ci dicono invece 

 che co è una costante. 



« Dalle (/S) si traggono anche le 



0 bf-f-i br+z 



br+l b r -t-i r-t-l b r +i r+2 

 br-hì b r+ i r+i br+2 r+2 



