le quali ci permettono di concludere (') che nella varietà di elemento li- 

 neare cp il sistema di superficie a due dimensioni di parametro xp fa parte 

 di infiniti sistemi tripli ortogonali, in quanto, scelto ad arbitrio un sistema x 

 ortogonale a xp, ne esiste sempre un terzo ortogonale tanto a xp quanto a x. 



Poiché -y- è una radice doppia della equazione di 2° grado, che nello 



spazio di elemento lineare <p costituisce la generalizzazione di quella che nello 

 spazio euclideo ha per radici le curvature principali di una superficie di pa- 

 rametro xp, possiamo da ciò concludere che le superficie a due dimensioni del 

 sistema di parametro xp nella superficie a tre dimensioni di elemento lineare xp 



hanno le curvature principali eguali fra di loro ed a -y- . 



« In questo caso tutte le linee situate sopra una superficie xp essendo 

 linee di curvatura della superficie a tre dimensioni corrispondenti alla curva- 

 tura principale «, poiché dip = 0 è la equazione unica, a cui si riducono 

 le equazioni delle linee stesse, e le linee di curvatura corrispondenti alla 

 curvatura principale g essendo normali alle superficie del sistema xp, ogni 

 sistema triplo ortogonale, a cui appartenga xp, è tale che due qualunque 

 dei sistemi di superficie, che lo compongono, si tagliano secondo linee di cur- 

 vatura della superficie a tre dimensioni. In altri termini per ridurre tanto xp 2 

 quanto la sua forma derivata a contenere soltanto i quadrati dei differenziali 

 delle variabili è necessario e basta scegliere per sistemi coordinati quello di 

 parametro xp e due qualunque degli infiniti sistemi che sono ortogonali a 

 questo e fra di loro. Scelto così il sistema di coordinate e posto 

 = L 2 dxp 2 + H, 2 dx, 2 -f H 2 2 dx t 2 , 



si hanno le 



b (3) Ldxp L dxp 



e le (/?) si riducono alle 



dHiOì dH 1 dR^oì dH 2 

 dxp ~~ ? dxp dxp ~ Q dxp 



Le ci dicono che si ha 



XL = h(xp), 



essendo h funzione soltanto di xp, e quindi 



^ = -1 \ h {xp) dxp f + H x 2 dx x 2 + H 2 2 dx 2 2 . 



A l 1 



(') Vedasi il § 6 della mia Memoria Sui sistemi di integrali indipendenti ecc., pub 

 blicata nel tomo XV della serie II degli Annali di matematica pura ed applicata. 



