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Se o) è costante, essendo « — q > 0. le (/? 2 ) danno 

 p 2) dtp ~ dy ~ U 



e ci dicono che le superficie del sistema ip sono tutte applicabili fra di loro. 

 Per le (§'*) calcolando la curvatura di Gauss di una qualunque di queste 

 superficie, in quanto si consideri trasportata nello spazio euclideo, si trova per 



essa la espressione J^ 1 *' * 2 2 » dal che si conclude che essa è eguale ad to 2 , 

 ìli H 2 



avendosi dalle (I) a n , 12 = /?n /? 22 e dalle (2) § u = — «H x 2 /? 22 = — &)H 2 2 . 

 Dunque le superficie del sistema xp, quando w sia costante, sono applicabili 

 nello spazio euclideo a delle sfere di raggio co. In questo caso <p rappre- 

 senta l'elemento lineare di una superficie canale a tre dimensioni e a g> 2 si 

 può dare la forma 



f = (rxj + 0)2 ( d ° 2 + sen2 ed r)- 



« Se oo non è costante prenderemo xp = ai ed avremo dalle (/9 2 ) le 



„ d log Hi o£ log H 2 1 



do) dea X 



Indicata poi con k 2 la curvatura totale di una superficie del sistema w tra- 

 sportata nello spazio euclideo, si ha 



TT 2 TT 2 7 2 . Hi H 2 dUi dH 3 

 Hi 2 H 2 2 k 2 = a ì2 , lz -j- . , ; — 



e per le (/S" 2 ) 



/r(w) 



Dunque le superficie del sistema («), le quali nella superficie a tre dimensioni, 



che consideriamo, hanno amendue le curvature principali eguali a 77—, poiché 



Meo) 



è - — /ì(to), nello spazio euclideo hanno la curvatura totale positiva ed eguale a 



~\~ U)2 - I n questo caso r/ 2 rappresenta il quadrato dell'elemento lineare 



di una superficie generata dal movimento di una sfera a due dimensioni di 

 raggio variabile e gli si può dare la forma 



= ^ ( w « + jpLJ) [citi 2 + sen 2 6dy^ ■ 



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TT 1 ■ 



