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si hanno le b r — H xp r quindi dalle (fi) le 



X 2 rs b rs dscr dx s — H d ip \v H d xp -j~ d H — L l( P 2 



e dalle (4) la 



6) 2 rst fi rst dx r dx s dx t = H 2 (3 d X + 2 v H <ty) di/; 2 — (#» -f- 2,u H #) cp 2 . 

 Nel caso di w costante questa ci dice che, se la forma differenziale cubica 

 di coefficienti first è identicamente nulla, si ha identicamente 



3d(j = 2v ÌLdip , 



cioè si hanno le 



3 Q r = 2 V H ìp r 



e da queste per le (5) v — 0 e quindi g r ~= o cioè q costante. Avendosi quindi 



= dty? -f « 2 (dd 2 -j- sen 2 e^ 2 ) , 

 è facile vedere che è q — 0 e che g> rappresenta l'elemento lineare di un 

 cilindro retto a tre dimensioni avente per base una sfera di raggio a>. 



« Se (o non è costante si ha xp = co , ,u H = 1 e la (6) prende la forma 

 2 rs t first dx r dx s dx t = dm )H 2 (3 d X -j- 2 v H dw ) dm — 3 <f 2 \ , 

 così che dall' annullarsi identicamente della forma cubica ricordata verrebbe 

 la identità 



<p 2 = H 2 \d X -f- 1 v H dco[ dco , 

 la quale si scinde nelle 



a rs = H 2 j X r -j- j v H &v ' w s . 

 Queste non potendo sussistere, poiché avrebbero per conseguenza a=0, pos- 

 siamo concludere che nel caso studiato in questo paragrafo le fi rs t non pos- 

 sono essere tutte identicamente nulle a meno che le curvature principali 

 della superfìcie di elemento lineare y non siano tutte costanti. 



« 3. Consideriamo in fine il caso generale, in cui le tre curvature prin- 

 cipali della superficie sono, eccettuati punti speciali di questa, tutte dif- 

 ferenti fra di loro. Indicandone una qualunque con «, con w 1 e w 2 le altre 

 e ponendo 



( r . S ) fir+l s+l fir+2 s+2 fir+2 s+l fir+l s+2 



a 



C = co -f~ M\ -f- co 2 , 

 esistono un sistema semplice X w ed una funzione A, pei quali si hanno le 

 identità 



7) A A <r) A (s) = <2 Crs) W 2 -J- {flr+\ s+l fir+2 s+2 &r+2 s+l fir+l s+2 ~\~ 



fir+l s+l ttr+2 s+2 &r+i s+2 fis+i r+2) j~y (rS \ 



Ct 



2f X^^ Xy 1 



e le equazioni delle linee di curvatura corrispondenti alla curvatura princi- 

 pale a?, indicato con fi un fattore indeterminato, sono le 



d x r = !< X lr) . 



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