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In questo caso le condizioni necessarie e sufficienti per la esistenza del si- 

 stema triplo ortogonale cercato sono che per ciascuna delle curvature prin- 

 cipali co le funzioni X r , che costituiscono il sistema reciproco a quello delle 

 A <r) , siano proporzionali alle derivate di una stessa funzione rispetto alle x r . 

 Dalle (7) si traggono successivamente le 



7') A X™ X s = -w! ( a m) § st + St a st y™ — co (a — a>) 2 t a rs é rn 



1") A X r X s = Yrs — « + (C — ») Ors\ 



e da queste ultime, ricordando che 2 rs a irs) fi rs e 2 rs a lrs) y rs — 2 rs a rs y (rs) 

 sono rispettivamente i coefficienti del quadrato e della prima potenza della 

 incognita nella equazione, che ha per radici «, w\ e « 2 , si ha 



A = (co — coj) (a) — w 2 ) . 



Le {!") poi danno ancora 



8) .Al T X st = y rst — X r X s At — oh )Pn + {p — 2co) a rs \ — 



— <° (first -f" °i 0>rs) — A X s Xft 



e avendosi 2 r X (r) X n = 0 



9) A X st = 2 r y rst X^ — X s A t + co , j2 r /?, rs + (tf — 2t») A s | — 



— co |2 r /?« t A (r> + <r ( X s \. 



Queste, tenuto conto delle (II) e notando che dalle (7') si ha 



^rs (A-s+2 ^s+l — w s+2) X ir) X s = 0 , 



danno 



10) A 2 S X s (X s+1 s+2 — X s+2 s+l) 2 rs (jrs+l s+2 — )Vs+2 s+l) X l>) X s . 



Siccome poi, confrontando le espressioni delle y (uvM e delle a pq , rs t si tro- 

 vano le 



vCttuio) }l y „(u5) n , 



I ^qU 1 Uu+\ w+2 5 <c+\ v+2q 



dalle quali si traggono le 



2 r Yrst X^ == — 2 m Ct vs &u+l u+2 ] v+l v+2t X u 



a 



avremo le 



^rs ()Vs+i s+2 )Vs+2 s+l) X^ X s = 2 rs t u oP ,u ' ) Cl s+ 2 s+ \ , r j, ( X s À ( ' ' 



o anche, avendosi dalle (I) le 



#s+2 s+l i rtu z= fis+2l fis+iru @s+2r fis+ltu ~\~ fis+lr fis+2tu — fis+lt fis+2ru ? 



tenuto conto delle (II) e delle (7'), le 



^rs ()Vs+i s+2 )Vs+2 s+i) X ir) X s = 2 rs i uv CL s t ffl' M0) y<>*() $ s+2 s+1 ) ruv . 



Poiché la condizione necessaria e sufficiente perchè le X s siano proporzionali 

 alle derivate di una stessa funzione rispetto alle x s è data dall' annullarsi 

 del 1° membro della (10), possiamo concludere che, quando le tre curvature 

 principali di una superfìcie a tre dimensioni sono tutte differenti fra di loro, 

 una sola condizione è necessaria e sufficiente perchè sulla superfìcie stessa 



