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esistano tre sistemi di superficie a due dimensioni, i quali si taglino due a 

 due secondo le linee di curvatura di quella a tre dimensioni. Tale condizione 

 consiste in ciò che i coefficienti della forma differenziale quadratica y 2 , che 

 rappresenta il quadrato dell'elemento lineare della superficie, soddisfacciano 

 alla equazione a derivate parziali di 3° ordine 



(IH) ^rstuv # (M!,) tt s t &r+\ r+2 i t+l t+2 &S+1S+2 t ruv z== 0 , 



alla quale si può anche dare la forma 



(III ) ^rstuv tì^"®* §rsv (#s+2« fis+lu — O-s+lt §s+2tì) &r+l r+2 j t+2 == 0. 



« Verificata questa condizione, si possono prendere le linee di curvatura 

 come linee coordinate Xi x 2 x 3 e posto 



e indicata con w r la curvatura principale, che corrisponde alle linee di cur- 

 vatura intersezioni dei sistemi hanno le 



Prs = 0 per r § s 



e le 



le quali equivalgano alle 



P rst = 0 (r$s, s^t, r^t) 



§rsr = ( 01 r — w s) Hr ^ ( r > s) 



o _ _TT2 dù, r 

 Prrs — -t 1 



« Le (II) prendono dunque in questo caso la forma 



(II») K -.jif5:+^ = 0 (r S s). 



« Se calcoliamo la curvatura K r di Gauss di una superficie qualunque 

 del sistema w r trasportata nello spazio euclideo senza alterazione del suo 

 elemento lineare troviamo 



v _ , l_ d log H y+1 d log Hr+2 



* Se una delle quantità E r+l , K r +2 è indipendente da x r le equazioni 

 (II") dicono quindi che esiste nello spazio euclideo per ogni superficie del 

 sistema x r una superficie, a cui questa è applicabile e per la quale le linee 

 x r +i ed x r +2 sono linee di curvatura. 



a Se poi supponiamo tutte le § rst identicamente nulle (nel qual caso la 

 (111) è verificata) troviamo le 



dE r _ dR r _ . 



dXr+i dXr+2 



