le quali ci dicono che B. r è funzione soltanto di x r e, siccome in questo caso 

 (p* è di classe 0, concludiamo che per una forma differenziale quadratica di 

 prima classe la forma cubica di coefficienti p rst non può essere identicamente 

 nulla se non nei due casi superiormente trovati. Siccome di più dall' ammet- 

 tere che tutte le « siano costanti e che sia soddisfatta la (III) si traggono le 

 ($ rst — 0, possiamo anche concludere che, se esistono superficie a tre dimensioni, 

 le cui curvature principali siano tutte costanti e differenti fra di loro, per 

 esse la (III) non è soddisfatta, cioè non è possibile fare scomparire i pro- 

 dotti dei differenziali delle variabili tanto dall'espressione del quadrato del 

 suo elemento lineare, quanto dalla forma derivata di questa » . 



Matematica. — Sulle equazioni differenziali lineari. Nota del 

 dott. Carlo Bigi avi, presentata dal Socio Betti. 



« 1. Negli studi che fino ad ora sono stati fatti sulle equazioni differen- 

 ziali lineari a coefficienti doppiamente periodici, sono state considerate prin- 

 cipalmente quelle che hanno l' integrale generale uniforme, conosciute sotto 

 il nome di equazioni del Picard. Peraltro 1' Halphen ne ha studiate altre per 

 le quali invece soltanto i rapporti degli integrali sono uniformi, ed ha dimo- 

 strato che esse, al pari delle precedenti, possono integrarsi completamente. 

 Ma esistono ancora altre equazioni che pure meritano di essere ricordate e 

 sono quelle che hanno un numero di integrali uniformi inferiore al loro ordine. 



« Queste equazioni differiscono da quelle del Picard e dell' Halphen per 

 non essere completamente integrabili, ma soltanto riducibili, potendosi abbas- 

 sare il loro ordine di k unità, supposto k il numero dei loro integrali uni- 

 formi. Esse inoltre godono delle due seguenti proprietà fondamentali. 



1° I k integrali uniformi appartengono ad una equazione lineare d'or- 

 dine k e di quelle del Picard. 



2° Le nuove equazioni che si ottengono abbassando il loro ordine di 

 k unità, sono pure a coefficienti doppiamente periodici. 



« Infatti sia 



n\ d n y . d^y ' . A 



una di tali equazioni e 



Vi 0) ; '1/2 (x) ... y- (x) 

 i suoi k integrali uniformi. Le funzioni 



ij 1 (x -f- 2t») , y z (x + 2m) ... jju (x -f- 2w) 

 sono pure integrali uniformi e distinti dell'equazione. Esse quindi devono es- 

 sere espressioni lineari a coefficienti costanti di y x y t ...y^ ed il determinante 

 di questi coefficienti sarà differente da zero. Lo stesso si dica per 

 Vi (x + 2«') S{$rb 2w ') - n + 2o>') . 



Eendiconti. 1889, Vol. V, 1° Sera. 84 



