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Perciò il cambiamento di x in x -j- 2» e x -f- 2eo' equivale a fare sopra gli in- 

 tegrali uniformi due sostituzioni lineari. Così si vede subito che l'equazione 











(2) 





• 



= 0 







. y* m 





è di quelle del Picard. 



« Di qui risulta che fra i k integrali uniformi ve ne è uno almeno, 2/1 

 ad es:, di seconda specie. Se ora facciamo nella (1) e nella (2) 



y = yifzdx 



otteniamo due equazioni in z a coefficienti doppiamente periodici e d'ordine 

 n — 1 l'una e k — 1 l'altra. Inoltre la seconda è di quelle del Picard, e tutti 

 i suoi k — 1 integrali uniformi appartengono anche alla prima. Tra questi 

 ve ne sarà uno Si di 2 a specie; sicché, facendo nelle due equazioni ottenute 



z ■== Zi f tdx , 



se ne avranno altre due in t analoghe ad esse, d'ordine n — 2 l'una e k — 2 

 l'altra, sulle quali potremo operare come sulle precedenti. E dopo avere ese- 

 guito quest'operazione k volte l'equazione proveniente dalla (2) si ridurrà alla 

 forma u = 0, essendo u la funzione incognita ; mentre che quella che discende 

 dalla (1) sarà d'ordine n — k ed a coefficienti doppiamente periodici. 



« Quest'ultima equazione potrà essere di quelle del Picard 0 di quelle 

 dell'Halphen, oppure apparterrà alla terza classe di equazioni citate, 0 final- 

 mente sarà di quelle che non hanno alcun integrale uniforme. Nei primi due 

 casi essa s'integrerà completamente, e potremo servirci dei suoi integrali per 

 esprimere quelli della (1) che non sono uniformi. Nel terzo caso invece essa 

 sarà soltanto riducibile come la (1), e potremo col metodo già applicato ab- 

 bassare il suo ordine, e fare allora sulla nuova equazione che si ottiene con- 

 siderazioni ed operazioni analoghe alle precedenti. E si proseguirà in questo 

 modo finché non si giunga ad una equazione del Picard 0 ad una dell'Halphen 

 0 ad una della forma u = 0, il quale caso è ancora possibile, 0 finalmente 

 ad una irriducibile, cioè che non abbia più alcun integrale uniforme. 



« Quest'osservazione ci mostra che si possano avere ancora espressioni per 

 tutti 0 per alcuni degli integrali non uniformi della (1). Se l'equazione finale 

 irriducibile è d'ordine i, k saranno gl'integrali uniformi e n — k — i quelli 

 non uniformi pei quali possono aversi formule per esprimerli. 



« Non faremo per ora alcun altra considerazione generale sopra le equa- 

 zioni citate; ma ci limiteremo a mostrare con alcuni esempi come il loro 

 studio possa talvolta riuscire utile ed interessante. 



« 2. Consideriamo un' equazione del 2° ordine, alla quale potremo dare 

 la forma 



(3) //'+ihy'+P2y = o, 



