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e supponiamo che i poli di p x ep 2 siano del 1° ordine per p x ed al più del 

 secondo per p 2 , di guisa che, indicando con a uno qualunque di essi, gli in- 

 tegrali della (3) si mantengono finiti quando sono moltiplicati per potenze 

 convenienti di x — a. Fra i poli che p x e p 2 hanno entro il parallelogrammo 

 dei periodi vi sia lo zero, e si indichino i rimanenti con a x a 2 ...ai. Siano 

 r, 5 ; r x , s x ; r 2 , s 2 ; r ; , Si le radici delle determinanti della (3) relative a 

 0, a x , a 2 ... a%. Queste radici siano tutte intere, e quelle relative ai punti a 

 ancora positive, e si abbia inoltre r x <^s x r 2 <C s 2 ...r t < Si. Supponiamo poi che 

 per i punti a siano soddisfatte le relazioni esprimenti la condizione necessaria e 

 sufficiente affinchè gli integrali della (3) non contengono logaritmi. Per il 

 punto zero dovremo invece supporre che questa relazione non sia soddisfatta, 

 poiché, se lo fosse, la (3) sarebbe una delle equazioni del Picard. 



« Supponendo r <. s, ricordiamo che la (3) ha due integrali particolari 

 distinti, i quali nelle vicinanze dello zero possono mettersi sotto la forma: 

 x s (p n (x) x r (<p 2l (x)-\-(p 22 (x)\ogx') , 



essendo le (p funzioni regolari nel punto zero. Di più sappiamo che (p xx non 

 si annulla per x = 0, e lo stesso deve sempre accadere per (p 2X se è r <C s 

 o per cp 22 se è r — s. 



« Se ora vogliamo che la (3) abbia un integrale particolare uniforme e 

 quindi di 2 a specie, osserviamo che esso non potrà divenire, entro il paral- 

 lelogrammo, infinito che nel punto zero, oppure sarà della forma è kx . In ogni 

 caso quest'integrale nelle vicinanze di zero, all'infuori di un fattore costante, 

 dovrà identificarsi con l'espressione. 



X s (p n (x) , 



dal qual fatto risulta che s dovrà essere o lo zero o un numero negativo. 

 Epperò potremo porre: 



s = — n r = — {n-\-h) 



essendo n ed h numeri interi nulli o positivi. Dunque l'integrale uniforme 

 di 2 a specie della (3) diverrà nel punto zero infinito d'ordine n, o si man- 

 terrà finito se è n = 0 



« Da una nota proprietà delle funzioni di 2 a specie sappiamo che que- 

 st'integrale deve avere n infinitesimi del 1° ordine entro il parallelogrammo 

 dei periodi ma di questi r« almeno sono riuniti nel punto di, poiché l'integrale 

 generale della (3) diviene in a- t infinitesimo d'ordine r%. Quindi perchè sia 

 possibile l'esistenza di un integrale di 2 a specie dovrà essere 



n i> Sri • 



Ma può ancora avvenire che in alcuni dei punti a, per esempio an , «s, l'in- 

 tegrale di 2 a specie divenga infinitesimo di ordini dati dalle maggiori radici 

 S/j , Su invece che dalle minori r h , r k . Perciò, chiamando con q la somma degli 

 zeri che quest'integrale ha nei punti a, si avrà sempre: 



q >. 2r i n > (> . 



