— 654 — 



In quanto ai rimanenti zeri, che l'integrale ha entro il parallelogrammo, si 

 osserva che sono in numero di n — q, ed inoltre che sono tutti del primo 

 ordine, cioè distinti, poiché, se ve ne fossero alcuni coincidenti, essi, come 

 si potrebbe facilmente vedere, sarebbero poli per p x e p 2 , cioè punti di sin- 

 golarità apparente per l'equazione. 



« Supponiamo per ora che le radici s x s 2 ... abbiano valori tanto grandi 

 che non si possa soddisfare alla relazione n^q altro che prendendo g—2ri. 

 Ciò posto il miglior metodo per riconoscere se la (3) ha un integrale uni- 

 forme è il seguente. Si consideri la funzione y x di 2 a specie data da 



l n— p 



ri; o r i (x — aì) n s a {x — s s ) 



, a^x) . eXx - 



Le £ e la l sono n -f- 1 — q costanti, delle quali possiamo disporre per as- 

 soggettare la funzione y x a verificare l'equazione (3). Ma per questo occorrono 

 n-\- l — q -j- l condizioni, poiché, sostituendo y\ ad y nel primo membro 

 della (3) e dividendo poi per y u si ottiene una funzione di prima specie con 

 n -j- 1 — q -f- l poli del 1° ordine entro il parallelogrammo. Quindi per ri- 

 durre identicamente nulla una tal funzione bisogna eguagliare a zero n — g -\- l 

 residui ed il valore costante al quale essa in tal caso si riduce, sicché in 

 tutto si hanno n -f- 1 — q -f- l relazioni. 



« Avanti di procedere oltre osserviamo un fatto, che semplificherà molto 

 le nostre considerazioni. Si cambi nella (3) funzione incognita ponendo 



y = èt, 



essendo 



1 L ff W J 



si ottiene così l'equazione in t 



(4) r +A'+^ = 0, 



nella quale i coefficienti f e g sono sempre funzioni di prima specie della x. 

 Essi risultano anche di l a specie rispetto ai parametri a, quando si suppone 

 che pi e p 2 godano pure di questa proprietà. 



« Le radici delle determinanti della (4) relative ai punti 0, 

 sono rispettivamente q — n, q — n — h; 0,Si — r x \ 0, s 2 — r 2 ... Possiamo 

 per semplicità indicare con — n, s x , s 2 ... le differenze q — n, s x — r x , 

 s 2 — r 2 ... Cosicché nella (4) le quantità corrispondenti a q, r u r 2 ... ri della 

 (3) risultano nulle. Questo ci mostra che basta considerare la (3) solo nel 

 caso che sia q — r x = r 2 — ... ri - - 0. Circa il valore di m e delle radici s 

 avevamo fatto una restrizione, la quale equivale ora ad ammettere che n sia 

 minore di s u s 2 ... 



