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« Prendiamo per funzione incognita v — — ; la equazione differen- 



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ziale (3) si trasformerà nell'altra 



(6) v'-\- v 2 -f Pi v -\-p 2 = 0 . 



» Nel primo dei tre casi che si considerano vi sono entro il parallelo- 

 grammo oltre allo zero altri tre punti a, b, c, di singolarità, e si vede su- 

 bito che si può prendere: 



m ( ih = f{x,a) + f(x , b) -f/(a? , e) 



1 ' \ Ih = p (x) + kf{x , a) + Bf(x ,b) + Cf(x , c) + E , 



ove le A, B, C, E sono arbitrarie, ma tre di queste quantità possono deter- 

 minarsi in funzione della quarta, quando si tenga conto delle relazioni che 

 si devono avere affinchè gl'integrali non contengano logaritmi nei punti a, b, c. 

 « Queste relazioni sono: 



/ A*+^(«) + E = (A-B)/(a,£) + (A-C)/(«,*) 

 (8) B 2 +^) + E = (B-C)/-(^)+(B-A)/(Z>,«) 



( C 2 +^) + E = (C-A)/( tf ,a) + (C-B)/(£,£). 



« Per quest'equazione come pure per le altre due, è inutile parlare del 

 punto zero, poiché in esso l'equazione determinante ha le due radici eguali 

 a — 1, e quindi uno dei due integrali contiene sempre un logaritmo. 



« Prendendo per p u p 2 le espressioni (7) e sostituendola v nella (6) la 

 funzione Vi data dalla (5), si ottiene una nuova relazione di cui il secondo membro 

 è sempre lo stesso, ed il primo una funzione di l a specie della x con cinque 

 poli del 1° ordine entro il parallelogrammo, cioè 0, a, b, c, e. Annullando 

 i residui di 0, a, b, c ed il valore che la funzione prende in zero, quando 

 si è annullato il residuo di questo punto, si hanno le cinque relazioni seguenti : 



f(a,e) — X — A = 0 f{b,f) — X — B = 0 

 f(c,s) — X — C = 0 

 X + A + B -f C = 0 

 X 2 — 2p (s) —p (a) —p (b) —p (c) + E = 0 . 

 a Se esiste un sistema di valori per s e X che le verifica tutte, questo 

 sistema ci determina completamente la funzione v\, la quale allora, quando 

 venga sostituita a v, riduce la (6) ad una identità; sicché solo in questo caso 

 si può avere un' integrale uniforme. 



t Ma se dalle (9) eliminiamo s e X, si ottengono le (8), le quali per 

 ipotesi sono soddisfatte ; quindi si può sempre determinare un sistema di va- 

 lori per e e X. Dalla 4 a delle (9) abbiamo: 



A = -(A+B + C), 

 e dalla 5 a ponendo per X il valore trovato, si ricava: 



(A-\-B + Cy + n-p(a)-p(b)-p(e) 



(9) 



