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Matematica. — Sopra il calcolo dell'errore medio di un si- 

 stema di osservazioni. Nota del prof. P. Pizzetti, presentata dal 

 Corrispondente V. Cerruti. 



« 1. Abbiansi n relazioni: 



/ a! x -{- bì tj -\- d s -\ ] r l 1 = v i 



} a 2 x -f- b 2 y -f- Ci z H H h = v % 



fra w incognite fisiche %, y, z ... ed n(w -f- 1) quantità osservate (o in parte 

 note a priori) a x , a 2 , ••• , a n , #i , # 2 — , ecc. l x , ^ 2 ... l n . Se , yo , £o ••• 

 sono i valori più convenienti delle incognite dedotti dalle equazioni normali, 

 e se Ai A 2 ... X n sono i corrispondenti valori dei residui Vi v 2 ...v n , per modo 

 che sia 



(2) Or OSq -f- b r yo + C r 2 Q -\ \- l r = l r , 



la formola 



dà, secondo Gauss, un valore approssimato deU errore medio dell'unità di 

 peso corrispondente al sistema di equazioni (1). Le quali, è superfluo aggiun- 

 gere, noi supponiamo già ridotte all'unità di peso, nel modo ben conosciuto. 



« Il modo tenuto da Gauss nella deduzione della formola (3) consiste 

 nello esprimere la somma [vv~\ dei quadrati dei residui incogniti v x v 2 ... v„ 

 in funzione della somma [/U] dei valori più plausibili dei residui stessi e 

 di certe funzioni di 2° grado dei detti residui v x v 2 ... v n . Scritta questa re- 

 lazione e sostituito in essa a ciascuno dei quadrati dei v il quadrato del- 

 l'errore medio m e a ciascuno dei prodotti v r v s lo zero, si ricava senza dif- 

 ficoltà la formola (3). 



« Il procedimento usato da Gauss è senza dubbio, in tesi generale, 

 soggetto a molte obbiezioni. Il chiaro sig. Bertrand nella sua arguta trat- 

 tazione della teorica delle Probabilità, osserva ( l ) che infinite altre sorta di 

 relazioni analoghe a quella da cui Gauss è partito, possono stabilirsi fra i v 

 e i X e che ciascuna di queste relazioni conduce ad una espressione diversa 

 dell' error medio m in funzione dei l. 



«■ Mi propongo di dimostrare in questa Nota che, se si ammette che la 

 frequenza relativa degli errori sia rappresentabile da quella formola 



(1) 



n 



(3) 



h 



,-/iV 



( l ) Bertrand, Calcul des probabilités. Cap. XI, § 217. 



