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e che varii ragionamenti giustificano a priori, che l'esperienza conferma la 

 espressione 



«WS 



\ n — o) 



trovata da Gauss, dà il valor più probabile fra tutti quelli che a posteriori 

 possono assegnarsi all'errore medio cercato. 



« 2. Premettiamo le seguenti forinole. Sottraendo le relazioni del tipo (2) 

 dalle corrispondenti del sistema (1) e considerando, per semplicità, il caso 

 di tre sole incognite x, y, z\ si ha : 



I — X l = a 1 {x — x 0 ) + bi(y — ijo) -}- Ci (z — z 0 ) 

 (4) v% — X 2 = a 2 (x — x 0 ) + h (y — y 0 ) + c t (z — z a ) 



« D'altra parte, com' è notissimo, in virtù delle equazioni normali, si ha: 



[ a X] = 0 , [bX] = 0 , [cX] = 0 . 

 a Quindi moltiplicando le (4) rispettivamente per 2i , X t , ... e sommando, 

 si ottiene: 



[yX] — [XX] = 0 , 



donde senza difficoltà : 



M = [22] + . 

 « D'altra parte se si pone : 



[«a] (x — x 0 ) -f- [a*] (y — |/o) + [«e] (* — *o) = ? , 



[**•!] (.y — + (* — *o) = rj , 



[ec.2] — *„) = £, 

 dove [7>è.l] , [fo.l] , [cc.2], sono i coefficienti delle equazioni ridotte di 

 Gauss, le (4), elevate al quadrato e sommate, danno (per mezzo di una 

 trasformazione ben famigliare agli studiosi del metodo dei minimi quadrati) : 



(6) [(y -^=c!«T + [^ + [^I' 



« 3. Ciò posto, ammessa la forma (/) per la funzione di probabilità degli 

 errori, e chiamando h la misura di precisione che corrisponde all'error medio m, 

 ossia ponendo 



»_- * . 



la probabilità del sistema di residui V\ , v 2 — v n è data, a priori, dal prodotto : 



P = h n e ~ h2 ^ v \ clVì dv 2 ... dv n . 



« Tenendo conto delle relazioni (5) e (6) si ha ancora : 



