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§ 2. 



« Eliminando t' e x tra le (1) e le (1)', si ottengono 2n — 2 equazioni 

 indipendenti dal tempo che soddisfano tanto al problema colle forze P , 

 quanto al problema trasformato; ma ciò non significa, che i due problemi 

 haDDo 2n — 2 integrali comuni, poiché intendendosi per integrale di un 

 problema di meccanica una espressione delle variabili , che differenziata 



da' . 



è immediatamente soddisfatta quando si mettono in luogo delle -J^- le 



espressioni delle forze, le 2n — 2 equazioni comuni non equivarranno ad 

 altrettanti integrali comuni se non quando contengano solo 2n — 2 costanti 

 arbitrarie: in generale ne conterranno 2n — 1, giacché coli' eliminazione di t' 

 e di v si porta via solo la costante introdotta coli' integrazione della (3). 

 Vediamo perciò quali condizioni dovranno sussistere nelle forze P , affinchè 

 le costanti si riducano a 2n — 2 . 



« L'eliminazione di % e di t' immaginiamola ottenuta in questo modo. 

 Si prenda da una delle (1), per es. dell'ultima, il valore di f e si sostituisca 

 in tutte le altre 2n — 1 equazioni; così le (1) diverranno 



q s = (q n ) , (s = 1 , 2 ... n — 1) 



q n = f n (f) ■ 



Preso poi il t da una delle (1)', per esempio dall'ultima, si sostituisca in 

 tutte le altre, e così le (1/ diverranno 



« Se ora le 2n — 2 equazioni 



q s = xp s {a n ), jj^- = xp' s (q n ) 



non contengono che 2n — 2 costanti, allora ricavate queste da tali equazioni 

 e messe in 



0 :=*"<*■>• 

 il secondo membro prenderà la forma 



d 2 q s _ / dqi dq n - x \ 



^ n ' dq n dq n 



e i 2n — -2 integrali di queste n — 1 equazioni saranno comuni al sistema 



de 



« Ma da queste si ha 



, d% , d 2 q n 



Qn dt> qs di 2 = d% = V s q' n — V n q' s > 

 q'n dq n * q' n 3 



