«Affinchè adunque più problemi di meccanica abbiano 

 2n — 2 integrali comuni indipendenti dal tempo, è neces- 

 rio e sufficiente che le n forze P r soddisfino alle n — 1 con- 

 dizioni (5), e gl'integrali comuni saranno gl'integrali del- 

 l' equazioni (4). 



« Questo teorema, ma pel solo caso di n = 2 , è stato dedotto dal Kor- 

 kine (Mathematische Annalen, Zweiter Band, pag. 21) con un'analisi alquanto 

 laboriosa da un teorema di Clebsch sul numero delle soluzioni di un sistema 

 di equazioni a derivate parziali. 



« Seguendo la stessa via il teorema fu esteso ad ?^ = 3 dal dott. Pen- 

 nacchietti (Annali della K. Scuola Normale Superiore di Pisa, voi. IV), il 

 quale ha dato al teorema una forma che estesa ad n qualsiasi suona così : 



« Se —^- = IIA q 1 q Zf ...g n _ lì t,.-^ ì ^ 1 sono le equazioni 

 « differenziali di un problema da n — 1 dimensioni, sosti- 

 li tuendo ne' suoi 2n — 2 integrali i con q n e —jj con ^r-, questi 



« 2n — 2 integrali così trasformati converranno a tutti quei 

 « problemi ad n dimensioni ove le forze soddisfino alle con- 

 « dizioni (5)». 



« Le condizioni (5) equivalgono a questa : che le P s q' n — P n q' s debbono 

 essere rispetto alle velocità q\ ...q'„ funzioni omogenee di terzo grado. Onde 

 se con T? r rappresentiamo una funzione qualunque delle q, ma omogenea di 

 2° grado rispetto alle q', e con X una funzione qualunque delle q delle q' 

 e di t, le equazioni che hanno 2/i — 2 integrali comuni indipendenti da A 

 e da t avranno la forma 



« Se invece si vogliono considerare l'equazioni del moto sotto la forma 



q n 



(6) 



d 2 q r 



= F r + Ap- 



poniamo 



T ■ — ■ 2 2 r 2 S a rs q r 2 q 2 



(a rs = a :r ) (r, s = 1, 2 ... n), 



ed avremo 



