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in questa somma, come nelle seguenti, gli indici variabili prendono i valori 

 1, 2, 3 e se un indice supera 3, si deve rimpiazzare con quel numero mag- 

 giore di zero e non maggiore di 3, che è congruo ad esso secondo il modulo 3. 

 Se Qi, Q 2 , Q 3 sono aumenti infinitesimi dati alle coordinate x x , x 2 , x 3 di 

 un punto qualunque dello spazio e si pone 



2X M == 2i (a^n Qi -f- a hi Q; ft -j- a ki Q^) , 



ove per brevità u s rappresenta la derivata della funzione u rapporto alla va- 

 riabile x s , per effetto della deformazione il quadrato dell'elemento lineare 

 dello spazio diverrà 



Con c rs indichiamo l'elemento reciproco ad a rs nel determinante a formato 

 coi coefficienti della (1), diviso per a stesso, l'aumento óc rs di questa espres- 

 sione per effetto della deformazione si otterrà facilmente, osservando che 

 2 s c rs a ls è costante, quindi sarà 



(2) $Cfs ~ = 2^y Cf% Csj XjJ • 



« Posto 



2«wk,i = a k M + a\i — é m , X m = X\ -f- X h hi — X\ii , Zhx ,i = à n m + **w — 

 avremo 



(3) bfck,i = &hk,i -f - hik,i • 



« Osserviamo inoltre che, se alle variabili x si sostituiscono delle nuove va- 

 riabili y, l'elemento lineare \/ 2 ts a rs dx r dx s assumerà la forma -\/2 rs (a rs )dy r dy s , 

 lo spostamento di un punto qualsivoglia dello spazio, che fa aumentare di 

 Qi , Q2, Q3 le coordinate x di quel punto, darà alle coordinate y gli aumenti 

 (Qi)> (Q2), (Q3); fra le Q e le (Q) avranno luogo le relazioni 



Qi = 2j (Qj) xé ; 2 t Qi 1 xf = 2j (Q/) xé + 2j (Q;) xj* 

 e conseguentemente, se (X hh ) sono nel nuovo sistema di coordinate le quan- 

 tità omologhe alle X hk , avremo 



{Xjiiì) — ^ij ^ij x/ 1 Xj 1 , 



donde si conchiude che le X^ sono legate alle (A y -) dalle stesse relazioni che 

 legano fra loro le <% e le («y). Ne segue che le espressioni 



# = 2 hh Chic Xjik ; 0 — — 2^ cùhk (Xh+i ft+i X h+2 ft+2 — %+i ^+2 X ìl+2 s+i) 



sono invariabili, non cangiano cioè forma al variare delle coordinate. 



S l/~a 



« Se si osserva che è & = — 7=- si riconosce subito ch'essa è la dila- 

 ga 



tazione cubica. 



« Quando le Q,- sono le derivate covarianti di una stessa funzione TJ, 

 quando cioè si ha 



Qi == Cri U*"? 



