— 877 — 



si ottiene 



Xrs — XJ rs 2{j ttrs,i Cij IP, 



le X rs cioè sono le derivate seconde covarianti della funzione U; allora è 



# = j t TJ e & = J 22 U (i) 

 le -0- e & sono i parametri differenziali di secondo ordine di U. 



« Il potenziale di elasticità 77 pei mezzi isotropi ed omogenei è dato 

 dalla equazione 



277= A^ 2 — BO 



ove A e B sono due costanti, e da questa espressione resulta immediatamente 

 per le precedenti osservazioni una proprietà dei mezzi elastici isotropi che 

 può servire alla loro definizione: Il potenziale di elastictà dei mezzi 

 isotropi non muta forma al cangiare delle coordinate. 



« In tutti quegli spazi nei quali il quadrato dell'elemento lineare può 

 porsi sotto la forma cc2 r dx r 2 -, come sono gli spazi piani e quelli a curva- 

 tura costante, i soli dei quali ora ci occuperemo, la condizione necessaria e 

 sufficiente perchè il lavoro fatto dalle forze elastiche di un mezzo isotropo 

 sia negativo per qualsiasi spostamento è che si abbia 3A — B ]> 0 , B > 0. 



« Pongasi ora 



(4) tthh,lm — &kl,k ®hm,k + (a h m,u &lk,v Q-hl,u ttkm,v) i 



le espressioni analoghe relative ai coefficienti b K , dell'elemento deformato, 

 quando si osservi che le X sono quantità infinitesime, talché si debbono trascu- 

 rare i termini relativamente ad esse del secondo ordine rispetto a quelli del 

 primo, si potranno ottenere dalla (4) colle note regole del calcolo delle va- 

 riazioni e, tenendo presenti le (2), (3), verranno date dall'equazione 



(5) bhk,lm — (tKk,lm ~\~ ^hi,k ^hm,k ~\~ 



~\~ ^uv Cuv (tthm,u ~\~ G>1i,vl X}im,u &hl,u X]{m,v &k,m,v ^M,?<) 

 %^uvij Cui C v j X(j {^Cthrn,u Q>lk,v &lh,u ^km,v) 



ossia, se per brevità poniamo 



(6) ^ftft,Zm — %hi,h ^hm,ìt ~h 



~\~ ^*uv C U v (@hm,u X]il,v ~\~ &kl,v X]im lU 0>hl,u X]i m ,v U>bm,v Xjii, u ) 

 2 2 ut ij C u i C v j X(j ((thrn,u $kl,v &hl,u &km,v)i 



dalla equazione 



(5 Q ) bhk,lm — Cthk,lm ~\~ Xj^im . 



« Ciò posto ricordiamo, che è proprietà caratteristica degli spazi piani 

 od euclidei di annullare le sei espressioni (4), qualunque sieno le coordinate 



(*) La notazione ^ 22 è stata introdotta dal prof. Eicci. Vedasi la sua Memoria Sui 

 parametri e gli invarianti delle forme quadratiche differenziali. Ann. di Mat., serie 2 a , 

 tomo XIV. 



