— 879 — 



donde risolvendo 



. 2A — B 2 _ . 



A ìih — g ^dhh ^7 ^rs &hr Mks ^sr • 



« Ora il Beltrami ha dimostrato nella Memoria: Sull'uso delle coordi- 

 nate curvilinee nelle teorie del 'potenziale e dell'elasticità () che se U è 

 una funzione potenziale di forze elettriche, considerandola come equivalente 

 ad un sistema di tensioni elastiche, le corrispondenti quantità A rs vengono 

 date dalla equazione 



A r s = ^ (C rs U — 2 2 hJc C hr C lls U h IP) 



quindi, sostituendo nelle precedenti equazioni, avremo 



{Va} 3A — B Stv 



e 



(10) =- (Ga,ìk Jl 11-11/1 ^ ' 



ove si è posto per brevità 

 HI) ._4A-B_ 



• C ~12A-4B 



Dalle (9 0 ) e (11) resulta che per ogni funzione reale U la condensazione & 

 è negativa e che la costante C è positiva. 



« Sostituiamo nelle (7) le ora trovate espressioni (10) delle A 7l7i e, scri- 

 vendo per brevità U r , U rs per le derivate covarianti di primo e secondo or- 

 dine di U, troveremo 



2oiK (&Cij — 2 UV c U i c r j k m ) — 2 (Uhi Uhm — UtoUw) — 2CAiTJ ai,ii,i m — 



— 2G2 rs U r U s [jlu Cbhr,ms ~~f~ aum aur,ls — ahi afr^ — àjtm Cùhr,ls} — 

 22 rs Gc rs \jL/ im XJ r l U s h -\- aik U r h U sm ajtm Ui r U/ iS aih U; £ >- Unii} — 



— 2C [« w ^(U,U fcm ) + a hm f(U,U u ) — a km r(U,U hl ) — a M J(%% m )} + 



-J- 2G2 urs U u Crs \ a~ki {a U m,s Ukr ~\~ auh,s U m r) -j- Ctjim (#uft,s Ui r -(- &ul,s Uftr) 



— ahi {a u ]i, s U mr -f~ a um , s Ukr) — a-km {a u h,s Uir -f- a u i ìS Ukr) \ ' 



« In questa equazione rappresenta il parametro misto del primo 



ordine delle due funzioni a e /?. Di queste equazioni ne abbiamo sei corri- 

 spondenti alle espressioni A 23i23 , A 13jl3 , , ^ lj23 , A 23>12 , A 12 , 31 ; molti- 

 plichiamole ordinatamente per a n , # 22 , «33 , 2a 12 , 2a ì3 , 2a 23 e sommiamole, 

 ma per rendere più semplice la forma del risultato osserviamo che se n rap- 

 presenta la normale alla superficie U = cost. e si chiama H la radice qua- 

 drata del parametro 4 X U, si ha 



• =.£=.'<w) 



(*) Acc. di Bologna, serie 4 a , tomo VI. 



