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per cui dopo alcune riduzioni otteniamo l'equazione 



2K# = (1 — 4C) ^ 22 U — CH 2 2 % a mm + 2C 2 U r U s c ió a ir , js + 



et 



« Scegliamo nello spazio ora considerato delle coordinate che dieno al 

 quadrato dell'elemento lineare la forma a2dx r - ed avremo 



(12) K(2# — CH 2 ) = (1 — 4C) J 22 U + 2C (J 2 U) 2 + 2HC ■ 



« Ma giova osservare che si ha 



2^ 22 U = (^ 2 U) 2 -2« 

 e ricordando il significato di C la (12) assume la forma 

 (12 a ) K [8 (3A — B) & — (4A — B) H 2 ] = 2A2 (^j 2 (3A — B) (^ 2 U) 2 -j- 



+ 2(4A-B)^H- 



« Questa è l'annunciata estensione della formula che serve di base alla 

 dimostrazione del Beltrami ; la formula da questo autore trovata differisce 

 dalla (12 0 ) soltanto in ciò, che in essa mancano i termini moltiplicati per K 

 quindi se ne inferisce che negli spazi vuoti, nei quali z/ 2 U = 0, ed in 



quelli omogenei nei quali è ^ 2 ^ = 0 , essa non può essere verificata da 



una funzione reale U, a meno che questa non sia lineare rispetto alle coor- 

 dinate, il che è inammissibile perchè le funzioni potenziali newtoniane si 

 annullano all' infinito, oppure a meno che sia nulla la costante A, il che 

 sarebbe in contraddizione colle diseguaglianze già stabilite e richiederebbe 

 che il mezzo elastico fosse incapace di trasmettere le vibrazioni longitudi- 

 nali. Ma nel caso nostro, ricordando le citate diseguaglianze ed osservando 

 che -0- è negativo, si vede che la (12 a ) può essere soddisfatta da funzioni U 

 reali e non lineari, senza che sia A = 0, tosto che si supponga la curvatura K 

 negativa, come volevamo provare. 



* Ma neppure con questa ipotesi sulla natura del mezzo che costituisce 

 l'etere elettrico si eliminano tutte le difficoltà, che si presentano, quando si 

 voglia coli' ordinaria teoria dell'elasticità, dare una interpretazione meccanica 

 delle forinole di Maxwell; occorrerebbe infatti per ciò che, se U e V sono 

 due funzioni, che nello spazio a curvatura costante negativa tengono il posto 

 delle ordinarie funzioni potenziali newtoniane, si avesse 



2 Ga m r (UV) — (U*V* + U*V A ) = 0 , 



il che non è ». 



