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Matematica. — Di alcune proprietà delle linee caratteristiche. 

 Nota del dott. Y. Reina, presentata dal Corrispondente V. Cerruti. 



« In una recente Nota del prof. Pucci ( x ) , venne stabilito il concetto 

 di linee caratteristiche. Queste linee, sopra una superficie a curvatura positiva, 

 fanno riscontro alle linee asintotiche delle superficie a curvatura negativa, e 

 godono di notevoli proprietà, alcune delle quali furono già poste in luce nella 

 predetta Nota, altre formano l'oggetto della presente. 



« 1. Intorno ad un punto di una superficie, i cui due raggi di curva- 

 tura principali indicheremo con q x e q 2 , supponiamo di far ruotare un ele- 

 mento lineare ds di lunghezza costante, in guisa che l'estremo mobile de- 

 scriva un cerchietto geodetico (infinitesimo). Se indichiamo con a l'angolo 

 che l'elemento ds forma colla direzione principale che corrisponde al raggio 

 Qi (noi supporremo sempre £i^Lp 2 ), con dp la minima distanza delle nor- 

 mali alla superficie, condotte ne' due punti estremi dell'elemento ds , è noto 

 che si ha ( 2 ): 



Pi É>2 



1) dp = ds 



V 



1 



(pi sen ce) 2 (p 2 cos af 



« Se a , cì definiscono due direzioni coniugate, tra a ed ci ha luogo 

 la relazione: 



2) tg a tg a'= — 



p 



e ponendo a' — « = «, cioè indicando con a l'angolo compreso fra due dire- 

 zioni coniugate, si ottiene, fatta astrazione dal segno: 



COS ù) ==■ 



1 



(qi sen a) 2 1 (q 2 cos a) 2 . 



Pertanto la precedente espressione di dp si può porre sotto la forma: 

 3) dp — ds cos co 



la quale dice che la minima distanza dp , corrispondente ad un 

 elemento ds , è eguale alla proiezione dell'elemento Usuila 

 direzione coniugata. 



0) Dell'angolo caratteristico e delle linee caratteristiche di una superficie. Kendic. 

 della R. Acc. dei Lincei, Voi. V, fase. 7. 



( 2 ) T. Knoblanch, Einleitung in die allgemeine Theorie der Krummen Flàchen, § 26. 



Rendiconti. 1889, Vol V, 1° Sem. 113 



