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dp. Sapendo che le direzioni degli elementi cls e dp sono coniugate, ed indi- 

 cando ancora con a , a' gli angoli che esse formano colla direzione principale 

 di raggio q ì , avrà luogo la relazione 2). Sostituendo il valore di tg a ricavato 

 da questa nella 5) si ottiene: 



r = £>i sen 2 a'-j- q 2 cos 2 a' 



che è l'espressione del teorema di Hamilton. 

 k La nuova media r' m sarà quindi data da: 



e rammentando la 7) si avrà: 



10) r' m = q c . 



e Essa è dunque eguale al raggio di curvatura della geo- 

 detica tangente alla caratteristipa nel punto considerato. 



« 5. La relazione 8) è suscettibile di generalizzazione. — La espressione 

 del segmento r' , corrispondente ad un elemento ds di inclinazione a' , si può 

 porre sotto la forma: 



, Qì sen 2 a'-\- g 2 cos 2 a 



' QÌ sen 2 a -\- q\ COS 2 a 



« Il raggio di curvatura della geodetica uscente dal punto considerato 

 colla inclinazione a", è dato da: 



, t= QiQ* . 



Qi sen 2 a" -j- q 2 cos 2 a" 



Se l'inclinazione a" è coniugata all'inclinazione a' sarà : 



sen ce — ' . 



q y z sen 2 a -\- q 2 2 cos 2 a 



9 ff 



cos 2 a = 



Qi Z sen 2 «' 



d 2 sen 2 a'-\- q 2 2 cos 2 a' 

 e la precedente espressione di o" diviene: 



„ o\ sen 2 a'-\- ql cos 2 a 



^ Pi sen 2 u'-\- q 2 cos 2 a! 



la quale, combinata colla a), fornisce la relazione: 

 11) = — 



r'Q ' Qi Q 2 



e cioè la curvatura Gaussiana di una superficie è anche data 

 dall'inversa del prodotto del segmento r corrispondente ad 

 una direzione qualunque, per il raggio di curvatura della 

 geodetica, avente la direzione coniugata. 



« Quando la 11) debba applicarsi ad una superficie a curvatura negativa 

 basterà, riguardo ai segni di r' e q" , fare quelle medesime convenzioni, che 

 solitamente si fanno pei segni di q x e q 2 . 



