﻿Je vais dérnontrer que les nombres dérivés d'une fonction continue d'une 

 seule variable réelle sont mesurables et étudier leurs intégrales. « Considérons 

 pour cela une suite de fonctions u x , u % . . . , et les fonctions u , u égales, pour 

 chaque valeur de x, à la plus grande et à la plus petite des limites des u n ; 

 ce sont les enveloppes d'indétermination de la limite des u ». Bien entendu 

 dans la recberche de ces limites x est Constant, c'est n qui est variable. 

 « Yoici comment on peut obtenir l'enveloppe supérieure u; y» est la fonction 

 qui, pour chaque valeur de x , est égale a la plus grande des fonctions u x , 

 u 2 . . . , Ui ; Wi est la limite de la suite croissante Vi , Vi +1 , v i+2 )•■■', u est la 

 limite de la suite décroissante w x , w% , . . . ». Evidemment la défìnition de Wi 

 est incorrecte puisque, ainsi définis, tous les wi seraient égaux ; il faut dire : 

 Wi est la limite de la suite croissante Vi,v 2 ,...; Wi se définit à partir 

 de Ui , Ui+\ , . . . corame W\ à partir de u x , u 2 , . . . . Cette correction a été faite 

 par M. Beppo Levi. « Si les m sont des fonctions continues, il en est de 

 meme des Vi , les Wi sont donc au plus de première classe et u au plus de 

 seconde classe. Un raisonnement analogue s'applique à u ». 



Avant de continuer la citation je fais remarquer que, pour les applica- 

 tions qui suivent, le cas où certains des Wi seraient infinis importe peu. 



« La défìnition des enveloppes d'indétermination aurait pu étre donnée 

 pour une fonction g(x,h), où h est un paramètre rempla9ant l'indice de la 

 fonction m . L'un des nombres dérivés de f(x) est l'une des enveloppes 

 d'indétermination de r[f(x) ,oc,x-\- ff}( 1 ), quand on fait tendre h vers zero, 

 par valeurs de signe déterminé. Mais r \_f(x) , x , x + hi étant continue 

 en (x , h) pour h 4= 0 > on peut, pour la recherche de ces enveloppes, rem- 

 placer l'infinite non dénombrable des valeurs de h par une suite de valeurs 

 de h tendant vers zero et convenablement choisies. Les nombres dérivés sont 

 donc au plus de seconde classe » . M. Beppo Levi déclare ma démonstration 

 erronée à cause de la dernière partie du raisonnement ( 2 ), laquelle est ce- 

 pendant incontestable. S'il s'agit, par exemple, de faire tendre h vers 0 par 

 valeurs positives il suffira de faire parcourir à h une suite de valeurs con- 



tenant 1 , - , j , ^ , . . . et contenant entre -rr- et rr-j assez de valeurs pour 



— i • Li U 



que, quand h varie entre deus de ces valeurs, x restant Constant quelconque, 

 l'oscillation de r\_f{x) , x -f- li] soit inférieure à -K- . 



( 2 ) Voir la note 1 de la page 434 de ces Rendiconti. La. justification du texte s'ap 

 plique également à ma démonstration des Annali di Mat. 1 902, pag. 273, qui est aussi con- 

 dannile par M. Beppo Levi. 



