﻿« Ceci pose, soit Sì le nornbre derive supérieur à droite de f(x), nous 

 le supposons fini. Prenons arbitrairement des nombres l n échelonnés eie — oc 

 à -j- oo quand n parcourt la suite des nombres entiers de — oo à -f- oo, 

 et supposons que l n+1 — l n ne stirpasse jamais e. Prenons des nombres po- 



sitifs a n , tels que y_a n \l,,\ soit inférieure à s. Désignons, pour abréger, 



E(l„ <f Sì — l r ->-ì) par e n et rangeons les e„ en suite simplement infìnie 



e„i , e, r2 , Enfermons e al dans des intervalles A nl et G(e nl ) ( 2 ) dans des 



intervalles choisis de manière que la somme de leurs parties communes 

 soit au plus a, a . Enfermons e n2 dans des intervalles A„ 2 et C (e nl -j~ e„ 2 ) 

 dans des intervalles I, t2 , les A„ 2 et les I re2 étant intérieurs aux I, a et ayant 

 des parties communes de longueur au plus égale à a n %. On enfermera de 

 méme e n3 dans A, ì3 et C {e, a -f- e rr2 -f- e n3 ) dans I m , ces intervalles étant 

 contenus dans I„ 2 et ayant pour mesure de leurs parties communes a ni au 

 plus ( 3 ). 



* En continuant ainsi, on enferme e„ dans A„ et m(k,) — m(e„) (*) est 

 au plus a n ; de plus A, ( n'a en commun avec les autres A. n+P que des in- 

 tervalles, chacun d'eux étant comptés une seule fois, de longueur totale in- 

 férieure à a n ». 



Cela est manifestement inexact; le maximum de la longueur totale des 

 intervalles communs a k n et aux autres A n+P est la somme s n des nombres 

 a n \ , a n % , . . . a n correspondant aux ensembles e nì , e n z , etc. jusque et y 

 compris e n . 



« Les deux sommes T\l„\m{e n ) et z\l n \m(A n ) sont convergentes ou diver- 

 gentes à la fois et, si elles convergent, elles diffèrent de moins de e. Les 

 deux expressions f\SÌ\dx et T\l n \m{kn) ont donc un sens en mème temps, 

 et, si elles en ont un, elles diffèrent de moins de s (b — a-{-\) ,(a ,b) étant 

 l'intervalle positif d'intégration. La méme remarque s'applique aux deux expres- 

 sions fSìdx et Z.l n m(A. n ). 



« Soit un point x appartenant à e p , k! p celui des intervalles k p qui 

 contient x. Nous attaebons à x le plus grand intervalle positif (x , x -f- h) 

 contenu dans k' p , de longueur au plus égale à s et tei que 



l P <r[f(x) , x , (x + h)2 ^ lp+i + « ■ 



A Faide des intervalles ainsi défìnis, on peut former une chaìne d'intervalles 



(*) C'est-à-dire que e n est formé des points tels que l'on ait: 



l n <£ì^. l n+l . 

 ( s ) C{e n ) est l'ensemble des points n'appartenant pas à e n . 



( 3 ) « On suppose que l'on choisit les A n de manière que ceux qui correspondent à 

 un mème indice n'empiètent pas les uns sur les autres, et de mème des I» ». 

 (*) Le symbole'm(E) désigne la mesure de E. 



