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couvrant (a, b) à partir de a (p. 63)". C'est-à-dire une saite d' intervalles 

 n'empiétant pas les uns sur les autres et tels que chacun d'eux ait pour origine 

 l'extrémité du précédent ou la limite des extrémités des précédents. Si (/, , t 2 ) 

 est un intervalle de la chaìne, z|/(/i) — f(t*)\ est une valeur approchée de la 

 variation totale de /, qui tend vers cette variation quand la longueur maximum 

 des intervalles employés tend vers zero. Cette proposition n'est pas contestée 

 par M. Beppo Levi; il l'utilise au contraire dans son raisonnement. 



« Cette chaìne peut servir à évaluer une valeur approchée de la variation 

 totale de /. Cette valeur approchée ainsitrouvée v estcomprise entre v x — s(b — a) 

 et Vi -j- s (b — a) où y x = Z \l p \m(B p ) , en designant par B p les intervalles em- 

 ployés dans la chaìne et qui proviennent des points de e P » . lei il faudrait 

 v x et v x -f- 2s (b — a). « Les points de A p qui ne font pas partie de B^ font 

 nécessairement partie de l'un des ensembles A p+q (q =f=0) , donc leur mesure 

 est au plus égale à a p et V\ diffère de "Z\l n \m(A n ) de moins de Z a n \l n \<C f *• 

 Cela est inexact, nous pouvons anirmer seulement que l'on a: 



0 < ■L\l n \m{L n ) — z\Q m(B n ) < s s n \L\ ; 



et comme le troisième membre ne tend pas vers zèro nous ne sommes pas 

 autorisés à conclure, comme je le faisais, « donc pour que l'un des nom- 

 « bres dérivés d'une fonction, supposé fini, soit sommable, il faut et il suffit 

 « que cette fonction soit à variation bornée ; sa variation bornée est l' inté- 

 « graie de la valeur absolue du nombre derive ». 



Cela est cependant légitime en ce qui concerne les nombres dérivés 

 bornés parce qu'alors il n'y a qu'un nombre fini de nombres a n utiles et on 

 peut les supposer tels que Zs„|/„| soit aussi petit que Fon veut; c'est ce 

 qu'a bien vu M. Beppo Levi. 



Pour le cas général, portons notre attention sur les K premiers termes 

 de la suite e n , , e m , . . . . :Z' désignera une somme étendue aux quantités cor- 

 respondantes, on a: 



Z' | L | m{A n ) — Z'| In | m(B n ) ^ z' s n \ L \ , 



et l'on peut supposer cette dernière quantité plus petite que e, alors on a : 



Z' | L | m(e n ) — s ^ z' : | In | m{k n ) — e Z' | l n \ m(B n ) 



= Z | In | m(B n ) -^L Z | L | m(A n ) = Z | L\m(e n ) -f- e ; 



et puisque K et s sont quelconques l'énoncé susmentionné est établi dans 

 tous les cas. Il suffit maintenant de reprendre les iuégalités précédentes, dans 

 le cas où l'on supplirne les signes | | , pour obtenir cet énoncé complé- 

 mentaire : « l'intégrale indéfìnie d'un nombre dérivé sommable est la fonction 

 « f dont il est le nombre dérivé ». 



Je passe au second énoncé conteste par M. Beppo Levi, le suivant: 

 « l'intégrale indéfìnie d'une fonctiori sommable admet cette fonction pour dé- 



