﻿« rivée sauf aux points d'un ensemble de mesure nulle ». M. Beppo Levi 

 jnstifìe cet énoncé pour les fonctions bornées, il annonce qu'il l'établira dans 

 toute sa généralité mais il ne considère pas le raisonnement que j'ai donne 

 pour le cas general comme probant- Il dit en effet (note 2, pag. 438): 

 « quando infatti si ammette che la funzione integrando sia illimitata, il ra- 

 « gionamento della pag. 124 citata ammette implicitamente che una certa 

 u serie possa derivare termine a termine del che manca la prova » . Voici ce 

 que veut dire M. Beppo Levi. 



Je justifìe tout d'abord l' énoncé en question pour les fonctions ne pre- 

 nant que deus valeurs; ma démonstration n'est pas contestée. Je déduis de 

 là, sans aucun raisonnement, que le théorème est vrai aussi des fonctions 

 qui ne prennent qu'une infinite dénombrable et discrète de valeurs; c'est le 

 point contesté. 



La proposition est evidente quand il n'y a qu'un nombre fini de valeurs ; 

 quand il y en a une infinité il faut un raisonnement intermédiaire, d'ailleurs 

 analogue à celui utilisé au milieu de cette méme page 124, qu'on peut for- 

 muler ainsi: 



Sans nuire à la généralité, on peut supposer que la suite infime de 

 valeurs est illimitée dans un seul sens ; soit donc une fonction sommable <p 

 ne prenant, par exemple, que les valeurs entières positives. Soit % n la fonc- 

 tion égale à cp pour g> ^ n et à n pour <p ni, % n est, aux points d'un en- 

 semble de mesure nulle près, — disons presque partout — la dérivée de son 

 intégrale indéfinie; mais cette intégrale indéfinie croìt moins vite que celle 

 de sp , donc les nombres dérivés de l'intégrale de y sont presque partout 

 au moins égaux a % n et par suite à (p . 



Mais, si X est l'un de ces nombres dérivés, on a, d'après le premier 

 théorème de cette note, 



quels que soient a et b, et puisque X — g> est positive ou nulle X — <p est 

 presque partout nulle. 



Il est vrai que X peut, peut-étre, avoir en certains points une valeur 

 infinie ; mais comme ce ne peut ètre que la valeur -j- oo notre conclusion 

 n'en est que renforcée. 



Ce point établi la démonstration s'achève sans difficulté. 



Les démonstrations que je viens de rappeler ne sont pas les plus sim- 

 ples qu'on puisse donnei-, mais elles ont eu cet avantage qu'elles m'ont 

 conduit à la démonstration de théorèmes dont je ne soupconnais pas les 

 énoncés. Ces énoncés une fois connus, il est facile de les légitimer plus sim- 

 plement, surtout en ce qui concerne le second. 



ou 



