﻿Par exemple cet énoncé se déduit facileruent d'ime propriété generale 

 des fonctions, indiquée par M. Borei ('), et dont la démonstration est très 

 simple. 



Ou encore on peut démontrer le théorème sous la forme géométrique 

 qu'oD peut lui donner pour le cas d'une fonction ne prenant que les va- 

 valeurs 0 et 1 et qui s'énonce ainsi: appelons densité d'un ensemble mesu- 

 rable en un point M la limite, si elle existe, du rapport de la mesure de 

 la partie de l'ensemble contenu dans un intervalle ó, contenant M, à la me- 

 sure de ó quand on fait tendre à vers zero. Alors, sauf aux points d'un en- 

 semble de mesure nulle, la densité d'un ensemble mesurable est 1 aux 

 points de l'ensemble, 0 aux autres points. 



Cela peut se justifier simplement, par exemple à l'aide de raisonne- 

 ments imités de ceux de M. Vitali ( 2 ) et le théorème général s'en déduit. 



J'indique en terminant, sans entrer dans les détails nécessaires pour 

 bien préciser les énoncés, que l'on peut ótendre aux fonctions de plusieurs 

 variables les résultats considérés. Le principal intérét de pareils théorèmes 

 me paraìt consister en ce qu'ils permettent de raisonner parfois sur les 

 fonctions les plus générales comme sur les fonctions dérivables. Par exemple, 

 les surfaces applicables sur le pian les plus générales, que j'ai considérées 

 dans le travail cité des Annali di Matematica, quand on exprime les coor- 

 données sa, y, z de leurs points en fonction des coordonnées u, v des points 

 correspondants du pian, peuvent étre caractérisées par leurs rapports avec 

 les équations: 



auxquelles elles satisfont presque partout. 



Matematica. — Su un lemma del Poincaré. Nota del dott. 

 Eugenio Elia Levi, presentata dal Socio Luigi Bianchi. 



Questa Nota sarà pubblicata nel prossimo fascicolo. 



(') Un théorème sur les ensembles mesurables, Comptes Bendus de l'Académie des 

 Sciences, 7 dee. 1903. 



( 2 ) Vitali, Sulle funzioni ad integrale nullo (Rend. del Circolo Mat. di Palermo, 

 XX, 1905). Puisque j'ai l'occasion de citer cette Note, sans en contester l'intérét, je ferai 

 remarquer que le théorème qui en fait l'objet: une fonction dont l'intégrale indefinie est 

 nulle ne diffère de zèro qu'aux points d'un ensemble de mesure nulle, est une consé- 

 quence immédiate du fait qu'une telle fonction est, presque partout, la dérivée de son 

 intégrale indéfinie. 



